Question

如图1，已知直线y=2x与抛物线交于点A（3，6）.
（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；
（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM， 交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N。试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，说明理由；
（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD。继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

Answer 1

解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得6=3k   ∴k=2       ∴y=2x  
OA=_。
（2）是一个定值 ，理由如下：

过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H 。
①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，
此时；
②当QH与QM不重合时，
∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上
∴∠MQH =∠GQN  又∵∠QHM=∠QGN=90°
∴△QHM∽△QGN      
∴
P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得；
（3 ）延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R

∵∠AOD=∠BAE  
∴AF=OF    ∴OC=AC=OA=
∵∠ARO=∠FCO=90°   ∠AOR=∠FOC
∴△AOR∽△FOC 
∴
∴
∴点F（，0）
设点B（x，），过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF
∴
即
解得x₁=6 ，x₂=3（舍去）∴点B(6，2)        
∴BK=6-3=3  AK=6-2=4     ∴AB=5         (求AB也可采用下面的方法)
设直线AF为y=kx＋b（k≠0）
把点A（3，6），点F（，0）代入得k=，b=10     
∴
∴（舍去）
 ∴B（6，2）∴AB=5  
(其它方法求出AB的长酌情给分)
在△ABE与△OED中
∵∠BAE=∠BED    
∴∠ABE＋∠AEB=∠DEO＋∠AEB  
∴∠ABE=∠DEO
∵∠BAE=∠EOD    
∴△ABE∽△OED  
设OE=x，则   
由△ABE∽△OED得
∴ 
∴
∴顶点为（，）
如图，当时，OE=x=，此时E点有1个；
当m=时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个。
∴当时，E点只有1个  ，
当时，E点有2个 。