题目内容
【题目】如图，在
中，
，
，
，点
为
中点．动点
从点出发，沿
方向以每秒
个单位长度的速度向终点
运动，点关于点对称点为点
，以
为边向上作正方形
．设点的运动时间为
秒．
（1）当
_______秒时，点
落在
边上．
（2）设正方形与重叠部分面积为
，当点在内部时，求关于的函数关系式．
（3）当正方形的对角线所在直线将的分为面积相等的两部分时，直接写出的值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
的值为
或
．
【解析】
（1）如下图，根据
，可得出PN与AP的关系，从而求出t的值；
（2）如下图，存在2种情况，一种是点M在△ABC内，另一种是点M在△ABC外部，分别根据正方形和三角形求面积的公式可求解；
（3）如下图，存在2种情况，一种是PM所在的直线将△ABC的面积平分，另一种是QN所在的直线将△ABC的面积平分．
（1）如图1，点N在AC上
图1
由题意可知：PD=DQ=t，AP=7－t
∴PN=PQ=2t
∵
∴
，即
解得：t=
（2）①如图2，
图2
四边形
是正方形，
，
，
，即
解得
，
故当
≤
时，
；
②如图3，
图3
，
，
，
，
则
，
，
，
则
；
综上，．
（3）如下图，过点C作AB的垂线，交AB于点G
图4
∵
∴设CG=4x，则AG=3x
∵∠B=45°
∴△CBG是等腰直角三角形
∴GB=GC=4x
∵AB=14
∴3x+4x=14，解得：x=2
∴
∴
情况一：PM所在的直线平分△ABC的面积，如下图，PM与BC交于点E
图5
则
∵四边形PQMN是正方形，∴∠EPB=45°
∵∠B=45°
∴△PBE是等腰直角三角形
∵
∴PE=PB=
∴PB=
∵PB=AB－PA=14－(7－t)=7+t
∴7+t=
t=
情况二：如下图，QN所在线段平分△ABC的面积，QF交AC于点F，过点F作AB的垂线，交AB于点H
图6
同理，
∵四边形PQMN是正方形，∴∠EQH=45°
∴△FHQ是等腰直角三角形
∵
∴设FH=4y，则AH=3y，HQ=FH=4y，∴AQ=7y
∴
，解得：y=
∵AQ=AB－QB=14－(7－t)=7+t
∴7+t=7
解得：t=7
∴综上得：的值为或．
