题目内容

已知抛物线y=x²-（a+b）x+ $数学公式$ ，其中a、b、c分别为△ABC中∠A，∠B，∠C的对边．
（1）求证：该抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）设抛物线与x轴的两个交点为P、Q，顶点为R，且∠PQR=α，tanα= $数学公式$ ，若△ABC的周长为10，求抛物线的解析式；
（3）设直线y=ax-bc与抛物线y=x²-（a+b）x+ $数学公式$ 交于点E、F，与y轴交于点M，且抛物线对称轴为x=a，O是坐标原点，△MOE与△MOF的面积之比为5：1，试判断△ABC的形状并证明你的结论．

（1）证明：y=x²-（a+b）x+ $\text{[math]}$
△=（a+b）²-c²=（a+b+c）（a+b-c）
∵a，b，c为三角形三条边
∴a+b+c＞0，a+b＞c，a+b-c＞0
∴△＞0
∴抛物线与x轴必有两个不同交点

（2）解：设对称轴与x轴交点为D
R（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴RD= $\text{[math]}$
∵PQ=|x₁-x₂|= $\text{[math]}$ ，DQ= $\text{[math]}$ ，tanα= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∴（a+b）²-c²=20
∵△ABC周长为10，
∴a+b=10-c，（10-c）²-c²=20，c=4，a+b=6

∴y=x²-6x+4

（3）解：y=x²-（a+b）x+ $\text{[math]}$
对称轴x= $\text{[math]}$ =a，
∴a=b；
求交点横坐标： $\text{[math]}$
解之得：x²-3ax+ac+ $\text{[math]}$ =0
∴x= $\text{[math]}$
∵抛物线与y轴交点（0， $\text{[math]}$ ）在y轴正半轴．
直线y=ax-bc与y轴交点在y轴负半轴，a＞0
∴x₁＞0，x₂＞0，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =5
∴ $\text{[math]}$ =2a
∴9a²-4ac-c²=4a²
∴5a²-4ac-c²=0，即（a-c）（5a+c）=0
∵5a+c≠0，
∴a=c
∴a=b=c，△ABC为等边三角形．
分析：（1）抛物线与x轴有两个不同的交点，令y=0，那么得出的方程的△必大于0，已知了a、b、c是三角形的三边，可根据三角形三边关系进行求解．
（2）设抛物线的对称轴与x轴的交点为D，根据α的正切值可得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，根据抛物线的解析式可得出顶点R的坐标，即可得出RD的值，然后根据韦达定理表示出PQ的长，进而可得出QD的表达式，根据α的正切值和a+b+c=10即可求出抛物线的解析式．
（3）由于△MOE与△MOF等底，因此面积比等于高的比．即两三角形的面积比等于E、F的横坐标的比．可先表示出E、F的横坐标，然后根据横坐标比为5：1求出a、b、c的关系，进而可判断出△ABC的形状．
点评：本题考查二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理、二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．