题目内容
10．
如图，顶点为（1，4）的抛物线y=ax2+bx+c与直线y=$\frac{1}{2}$x+n交于点A（2，2），直线y=$\frac{1}{2}$x+n与y轴交于点B与x轴交于点C（1）求n的值及抛物线的解析式
（2）P为抛物线上的点，点P关于直线AB的对称轴点在x轴上，求点P的坐标
（3）点D为x轴上方抛物线上的一点，点E为轴上一点，以A、B、E、D为顶点的四边为平行四边形时，直接写出点E的坐标．
分析 （1）利用待定系数法先求出n的值，进而求出抛物线解析式；
（2）先利用对称性判断出MN=2NH，进而建立方程化简得到m=-2x2+4x①，再判断出△COB∽△CMH和△HMP'∽△CMH，判断出MH=2PN，进而建立方程化简得出4x=3m-2②联立方程组求解即可；
（3）分AB为平行四边形的对角线和边即可得出点E的坐标．
解答 解：（1）A（2，2）代入$y=\frac{1}{2}x+n$得n=1
设抛物线的解析式y=a（x-1）2+4代入点A（2，2），可得a=-2
所以抛物线的解析式y=2（x-1）2+4=-2x2+4x+2，
（2）如图1．
设PP'与AC的交点为H，
作HM⊥x轴于M，作PN⊥HM与N
设$P（x，-2{x^2}+4x+2），H（m，\frac{1}{2}m+1）$，
∵点P'是点P关于AC的对称点，
∴PH=P'H，
易得，△HNP≌△HMP'，
∴MH=NH，
∴NM=2NH，
∴-2x2+4x+2=m+2，
∴m=-2x2+4x①
∵直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，
∴B（0，1），C（-2，0），
∴OB=1，OC=2，
∵OB∥HM，
∴△COB∽△CMH，
∴$\frac{OC}{CM}=\frac{OB}{MH}$，
∴CM=2MH，
易证，△HMP'∽△CMH，
∴$\frac{P'M}{MH}=\frac{MH}{CM}$，
∴$\frac{P'M}{MH}=\frac{MH}{2MH}$=$\frac{1}{2}$，
∴MH=2P'M=2PN
∴$\frac{1}{2}m+1=2（m-x）$，
∴4x=3m-2②
联立①②解得x=1或$x=\frac{1}{3}$，
∴点P的坐标（1，4）或$（\frac{1}{3}，\frac{28}{9}）$，
（3）设点E坐标为A（t，0），以AB为边或对角线进行分类讨论：
①如图4，当AB是平行四边行的边时，AB∥DE，AB=DE
由于点B（0，1）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到A（2，2），
∴点D的坐标可以表示为D（t+2，1）
将D（t+2，1）代入y=2（x-1）2+4，得-2（t+1）2+4=1
解得$t=\frac{{-2±\sqrt{6}}}{2}$，
此时$E（\frac{{-2+\sqrt{6}}}{2}，0）$或$（\frac{{-2-\sqrt{6}}}{2}，0）$，
②当AB是平行四边形的对角线时，
设AB的中点$G（1，\frac{3}{2}）$，点E（t，0），
关于$G（1，\frac{3}{2}）$的对称点D的坐标可以表示为（2-t，3）
将D（2-t，3）代入y=-2（x-1）2+4，得-2（1-t）2+4=3
解得$t=\frac{{-2±\sqrt{2}}}{2}$，
∴$E（\frac{{-2+\sqrt{2}}}{2}，0）$或$（\frac{{-2-\sqrt{2}}}{2}，0）$．
点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解（2）的关键是得出MN=2NH和MH=2PN，解（3）的关键是分类讨论，解本题的重点是用方程的思想思考问题，是一道难度比较大的中考压轴题．
如图，点E、F分别在AB、CD上，若∠B=40°，∠C=70°，则∠1+∠2=110°．
| A． | a≥-$\frac{2}{3}$ | B． | a≥2 | C． | a＜-$\frac{2}{3}$ | D． | a≤2 |
如图，△ABC中，AD是中线，∠BAD=∠B+∠C，tan∠ABC=$\frac{11}{10}$，则tan∠BAD=$\frac{33}{10}$．
如图，BC=2，A为半径为1的⊙B上一点，连接AC，在AC上方作一个正六边形ACDEFG，连接BD，则BD的最大值为$2\sqrt{3}+1$．