Question

抛物线y=x²﹣x+2与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．

（1）求点A，B，C的坐标；

（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．

①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，+的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；

②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

 解：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即x²﹣x+2=0，

解得：x₁=2，x₂=4，∵OA＜OB，

∴A（2，0），B（4，0），

在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，

∴C（0，2），

（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，

∵DE∥OB，

∴△CDE∽△CBO，

∴，即，

∴DE=4﹣2t，

∴，

∵0＜t＜2，1﹣（t﹣1）²始终为正数，且t=1时，1﹣（t﹣1）²有最大值1，

∴t=1时，有最小值1，

即t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，

∴E（0，1），P（2，0）；

②存在，

∵抛物线y=x²﹣x+2的对称轴方程为x=3，

设F（3，m），

∴EP²=5，PF²=（3﹣2）²+m²，EF²=（m﹣1）²+3²，

当△EFP为直角三角形时，

①当∠EPF=90°时，

EP²+PF²=EF²，

即5+1+m²=（m﹣1）²+3²，

解得：m=2，

②当∠EFP=90°时，

EF²+FP²=PE²，

即（m﹣1）²+3+（3﹣2）²+m²=5，

解得；m=0或m=1，不合题意舍去，

∴当∠EFP=90°时，

这种情况不存在，

③当∠PEF=90°时，

EF²+PE²=PF²，

即（m﹣1）²+3²+5=（3﹣2）²+m²，

解得：m=7，

∴F（3，2），（3，7）．