Question

二次函数：y=ax²-bx+b（a＞0，b＞0）图象顶点的纵坐标不大于-．
（1）求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；
（2）若该二次函数图象与x轴交于A，B两点，求线段AB长度的最小值．

Answer 1

解：（1）由于y=ax²-bx+b（a＞0，b＞0）图象的顶点的纵坐标为，
则≤-，得≥3，
所以，该二次函数图象顶点的横坐标x=≥3，
即x≥3；

（2）设A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），
则方程ax²-bx+b=0的两根，
得x₁=，x₂=，
从而AB=|x₂-x₁|=
=
=
由（1）知≥6．
由于当≥6时，随着的增大，也随着增大，
所以=6时，线段AB长度的最小值为=2．
分析：（1）先求出y=ax²-bx+b（a＞0，b＞0）的顶点的纵坐标，根据题意得出≥3，即可得出该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；
（2）设A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），则x₁、x₂是方程ax²-bx+b=0的两根，由求根公式得出x₁、x₂，根据AB=|x₂-x₁|求出线段AB长度的最小值．
点评：本题是一道综合性的题目，考查了抛物线与x轴的交点问题以及二次函数的性质，是中考压轴题，难度较大．