Question

12．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：（1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）×（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$）-（1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$）×（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$）．
令$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$=t，则
原式=（1-t）（t+$\frac{1}{5}$）-（1-t-$\frac{1}{5}$）t
=t+$\frac{1}{5}$-t²-$\frac{1}{5}$t-$\frac{4}{5}$t+t²
=$\frac{1}{5}$
问题：
（1）计算
（1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$-…-$\frac{1}{2014}$）×（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2014}$+$\frac{1}{2015}$）-（1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$-…-$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$）×（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2014}$）；
（2）解方程（x²+5x+1）（x²+5x+7）=7．

Answer 1

分析 （1）设$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2014}$=t，则原式=（1-t）×（t+$\frac{1}{2015}$）-（1-t-$\frac{1}{2015}$）×t，进行计算即可；
（2）设x²+5x+1=t，则原方程化为：t（t+6）=7，求出t的值，再解一元二次方程即可．

解答 解：（1）设$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2014}$=t，
则原式=（1-t）×（t+$\frac{1}{2015}$）-（1-t-$\frac{1}{2015}$）×t
=t+$\frac{1}{2015}$-t²-$\frac{1}{2015}$t-t+t²+$\frac{1}{2015}$t
=$\frac{1}{2015}$；

（2）设x²+5x+1=t，
则原方程化为：t（t+6）=7，
t²+6t-7=0，
解得：t=-7或1，
当t=1时，x²+5x+1=1，
x²+5x=0，
x（x+5）=0，
x=0，x+5=0，
x₁=0，x₂=-5；
当t=-7时，x²+5x+1=-7，
x²+5x+8=0，
b²-4ac=5²-4×1×8＜0，
此时方程无解；
即原方程的解为：x₁=0，x₂=-5．

点评 本题考查了有理数的混合运算和解高次方程的应用，能正确换元是解此题的关键，题目比较典型．