Question

已知：如图，有一块含30°的直角三角板OAB的直角边长BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且AB=3．
（1）若双曲线的一个分支恰好经过点A，求双曲线的解析式；
（2）若把含30°的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后，斜边OA恰好与x轴重叠，点A落在点A'，试求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

解：（1 ）在Rt △OBA 中，∠AOB=30 °，AB=3 ，cot ∠AOB=，
∴OB=ABcot30°=3，∴点A（3，3）．
设双曲线的解析式为y=（k≠0）．∴3=，k=9．
则双曲线的解析式为y=．
（2）在Rt△OBA中，∠AOB=30°，AB=3，sin∠AOB=，sin30°=，
∴OA=6．
由题意得：∠AOC=60°，
S_{扇形AOA ′}=．
在Rt△OCD中，∠DOC=45°，OC=OB=3，
∴OD=OCcos45°=3．
∴S_△ODC=．
∴S_阴影=S_扇形AOA′﹣S_△ODC=6π﹣．