Question

如图，在□ OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60^o，0C=4cm．OA=8cm．动点P从点0出发，以1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以

    acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．

    设运动时间为t秒．

    (1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；

(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大?   

    (3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P

      为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．

Answer 1

    解：(1)C(2，2)，OB=4cm．……………………4分

        (2)①当0<t≤4时，

           过点Q作QD⊥x轴于点D(如图1)，则QD=t．

           ∴S=OP·QD=t².  ………………………5分

           ②当4≤t≤8时，

             作QE⊥x轴于点E(如图2)，则QE=2.

             ∴S =DP·QE=t． ……………………6分

 

③当8≤t<12时，

  解法一：延长QP交x轴于点F，过点P作PH⊥AF于点H(如图3)．

  易证△PBQ与△PAF均为等边三角形，

∴OF=OA+AP=t,AP=t-8．

∴PH=(t-8).   …………………………………7分

∴S=S_△OQF-S_△OPF

     =t·2-t·(t-8)

      =-t²+3t．    …………………………………………………………………8分

  当t=8时，S最大．      …………………………………………………………………9分

  解法二：过点P作PH⊥x轴于点H(如图3)．

  易证△PBQ为等边三角形．

  ∵AP=t-8．

  ∴PH=(t-8)．    ………………………………………………………………………7分

  ∴S=S_梯形OABQ-S_△PBQ- S_△OAP

     =(20-t)- (12-t)²-2(t-8)．

    =-t²+3t．    ……………………………………………………………………8分

当t=8时，S最大．   ……………………………………………………………………9分

  (其它解法酌情给分，如S=S_□OABC-S_△OAP- S_△OCQ - S_△PBQ )

(3)①当△OPM～△OAB时(如图4)，则PQ∥AB．

   ∴CQ=OP．

   ∴at-4=t，a=1+.   ………………………………10分

   t的取值范围是0<t≤8．  …………………………11分

   

②当△OPM～△OBA时(如图5)，

    则，

    ∴,

    ∴OM=．   ………………………………………………………………………12分

    又∵QB∥OP，

    ∴△BQM～△OPM，

    ∴,

    ∴,

    整理得t-at=2，∴a=1-.   …………………………………………………………13分

    t的取值范围是6≤t≤8．   

    综上所述：a=1+(0<t≤8)或a=1-(6≤t≤8)． …………………………………14分