Question

如图，在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，在△ABC中，BC=2AB，点B的坐标为（-4，0），点D是BC的中点，且tan∠ACB=
（1）求点A的坐标；
（2）点P从C点出发，沿线段CB以5个单位/秒的速度向终点B匀速运动，过点P作PE⊥AB．垂足为E，PE交直线AC于点F，设EF的长为y（y≠O），点P的运动时间为t秒，求y与t之问的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点O．作0Q∥AC交AB于Q点，连接DQ，是否存在这样的t值，使△FDQ是以DQ为一条直角边的直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在．请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设OA=a，先由tan∠ACB=，根据正切函数的定义得出OC=2a，则BC=4+2a，AB=2+a，然后在Rt△OAB中，由勾股定理得出AB²=OA²+OB²，列出关于a的方程，解方程求出a的值，即可得到A点坐标；
（2）过点A作AG⊥AB，交BC于G，解Rt△GAB，得出BG=，则CG=BC-BG=，根据条件得出0≤t≤2且t≠，所以分两种情况讨论：①0≤t＜，先由△ABG∽△EBP，得出FP=6-3t-y，再由△CFP∽△CAG，得出y=6-8t；②＜t≤2，先由△ACG∽△FCP，得出PE=5t-y，再由△BEP∽△BAG，得出y=8t-6；
（3）同（2）分两种情况进行讨论：①当0≤t＜时，过Q作QM⊥OB于M，过F作FN⊥BC于N，若△FDQ是以DQ为一条直角边的直角三角形，由于∠FQD≠90°，则只能∠QDF=90°．由△OBQ∽△CBA，得出BQ=2，再解Rt△BQM，得出QM=，BM=，则DM=BD-BM=，由（2）知FN=4t，则CN=2FN=8t，DN=CD-CN=5-8t，根据两角对应相等的两三角形相似得出△DNF∽△QMD，由相似三角形对应边成比例列出比例式，解出t即可；②当＜t≤2时，过Q作QM⊥OB于M，过F作FN⊥BC于N，FG⊥QM于G，若△FDQ是以DQ为一条直角边的直角三角形，由于∠FDQ≠90°，则只能∠FQD=90°，由△FGQ∽△QMD，根据相似三角形对应边成比例列出比例式，解出t即可．
解答：解：（1）设OA=a，则点A的坐标（0，a），
∵tan∠ACB==，
∴OC=2OA=2a，
∴BC=OB+OC=4+2a，
∵BC=2AB，
∴AB=2+a．
在Rt△OAB中，∵∠AOB=90°，
∴AB²=OA²+OB²，即（a+2）²=a²+4²，
解得a=3，
∴A（0，3）；

（2）过点A作AG⊥AB，交BC于G．
在Rt△GAB中，∵∠GAB=90°，
∴AG=AB•tan∠B=5×=，
BG===，
∴CG=BC-BG=10-=．
∵点P从C点出发，沿线段CB以5个单位/秒的速度向终点B匀速运动，点P的运动时间为t秒，
∴0≤5t≤10，
∴0≤t≤2．
∵P与G重合时，E、F、A三点重合，此时EF的长y=0，与已知矛盾，
∴t≠==．
分两种情况讨论：
①当0≤t＜时，如图2．
∵AG∥EP，
∴△ABG∽△EBP，
∴=，=，
解得FP=6-3t-y．
∵FP∥AG，
∴△CFP∽△CAG，
∴=，
∵AG=CG=，
∴FP=PC，即6-3t-y=5t，
∴y=6-8t；
②当＜t≤2时，如图3．
∵AG∥FP，
∴△ACG∽△FCP，
∴=，
∵AG=CG=，
∴FP=CP，即y+PE=5t，
∴PE=5t-y．
∵PE∥AG，
∴△BEP∽△BAG，
∴=，=，
∴y=8t-6．
综上所述，y=；

（3）分两种情况讨论：
①当0≤t＜时，过Q作QM⊥OB于M，过F作FN⊥BC于N，如图4．
若△FDQ是以DQ为一条直角边的直角三角形，∵∠FQD＜∠AQD＜∠AQO=∠EAC＜90°，
∴∠QDF=90°．
∵OQ∥AC，
∴△OBQ∽△CBA，
∴=，即=，
∴BQ=2．
在Rt△BQM中，QM=BQ•sin∠B=2×=，BM=BQ•cos∠B=2×=．
∴DM=BD-BM=5-=，
由（2）知FN=FP•sin∠FPN=CP•sin∠OAB=5t•=4t，
∴CN=2FN=8t，DN=CD-CN=5-8t．
∵∠FND=∠DMQ=90°，∠FDN=∠DQM=90°-∠QDM，
∴△DNF∽△QMD，
∴=，
∴=，
解得t=；
②当＜t≤2时，过Q作QM⊥OB于M，过F作FN⊥BC于N，FG⊥QM于G，如图5．
若△FDQ是以DQ为一条直角边的直角三角形，∵∠FDQ＜∠ADQ＜∠ADB＜90°，
∴∠FQD=90°．
∵GM=FN=4t，
∴GQ=GM-QM=4t-，GF=MN=BC-BM-CN=10--8t=-8t，
∵∠FGQ=∠QMD=90°，∠FQG=∠QDM=90°-∠DQM，
∴△FGQ∽△QMD，
∴=，
∴=，
解得t=．
综上所述，当t=或t=时，△FDQ是以DQ为一条直角边的直角三角形．
点评：本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，难度较大．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．