Question

如图1，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，点B落在边AD上的B′处（不与A、D重合），MN为折痕，折叠后B′C′与DN交于P．
（1）直接写出正方形纸片ABCD的周长；
（2）如图2，过点N作NR⊥AB，垂足为R．连接BB′交MN于点Q．
①求证：△ABB′≌△RNM；
②设AB′=x，求出四边形MNC′B′的面积S与x的函数关系式，并求S的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据正方形的性质，边长为1，周长即为4；
（2）①根据折叠的性质可知，∠A=∠MRN=90°，又因为∠ABB′=∠RNM，加之RN=AB=1，可知△ABB′≌△RNM；
②由①可知△MQB∽△B′AB，根据相似三角形的性质得到MB′和CN的表达式，即可根据梯形的面积公式的出S的表达式，利用二次函数求出S的最小值．
解答：解：（1）1+1+1+1=4．（3分）

（2）①则由折叠知，△MBQ与△MB′Q关于直线MN对称，
∴MQ⊥BB′．（4分）
在△RNM和△ABB′中，∠A=∠MRN=90°，（5分）
∠ABB′+∠BMQ=∠RNM+∠BMN=90°
∴∠ABB′=∠RNM，（6分）
又RN=AB=1，（7分）
∴△RNM≌△ABB′．（8分）
②由①可知△MQB∽△B′AB，
∵，（9分）
∵AB′=x则BB′=BQ=，代入上式得：
MB′=BM=，（10分）
CN=BR=BM-MR=-x=，（11分）
∵MB′∥NC′，
∴四边形MNC′B′是梯形，
∴S==，（12分）
由S==，
得当时，即B落在AD的中点处时，梯形面积最小，其最小值为．（13分）
点评：此题考查了翻折变换，要注意翻折不变性和正方形的性质等隐含条件．题目还涉及二次函数的最值问题，综合性较强．