Question

如图，直线AC分别交x轴y轴于点A（8，0）、C，抛物线 y=-

1

4

x²+bx+c（a≠0）经过A，B两点；且OB=OC=

1

2

OA，一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，交抛物线于点P，连接PB、设直线l移动的时间为t秒，
（1）求抛物线解析式；
（2）当0＜t＜4时，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；
（3）在直线l的移动过程中，直线AC上是否存在一点Q，使得P、Q、B、A四点构成的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先由点A（8，0）得出OA=8，再由OB=

1

2

OA=4，确定点B的坐标，然后将A、B两点的坐标代入y=-

1

4

x²+bx+c，即可求出抛物线解析式；
（2）连接OP，则S_{四边形PBCA}=S_△BOP+S_△AOP+S_△AOC，再由函数的性质可求得S的最大值；
（3）分两种情况讨论：①以BP为平行四边形的一边；②以BP为平行四边形的对角线．

解答：解：（1）∵点A（8，0），
∴OA=8，
∴OB=OC=

1

2

OA=4，
∴B的坐标为（0，4），
将A、B两点的坐标代入y=-

1

4

x²+bx+c，
得

- 1 4 ×64+8b+c=0 c=4

，
解得

b= 3 2 c=4

．
∴抛物线解析式为y=-

1

4

x²+

3

2

x+4；

（2）当0＜t＜4时，点P在第一象限，设P（2t，y），
把x=2t代入y=-

1

4

x²+

3

2

x+4，得y=-t²+3t+4，
所以P（2t，-t²+3t+4）．
如图，连接OP．
则S_{四边形PBCA}=S_△BOP+S_△AOP+S_△AOC
=

1

2

×4×2t+

1

2

×8×（-t²+3t+4）+

1

2

×4×8
=-4t²+16t+32（ 0＜t＜4）．
∵-4t²+16t+32=-4（t²-4t）+32=-4（t-2）²+48，
∴当t=2时，四边形PBCA的面积最大，最大面积为48；

（3）①如图，以BP为平行四边形的一边时，BP∥AQ，BP=AQ．
∵A（8，0），C（0，-4），
∴直线AC的解析式为y=

1

2

x-4，
设直线BP的解析式为y=

1

2

x+m，将B（0，4）代入，
解得m=4，
即直线BP的解析式为y=

1

2

x+4．
解方程组

y= 1 2 x+4 y=- 1 4 x2+ 3 2 x+4

，
解得

x=4 y=6

，
∴P（4，6），
∵B（0，4），BP∥AQ，BP=AQ，
∴Q₁（4，-2），Q₂（12，2）；
②如图，当以BP为平行四边形的对角线时，
AB∥PQ，AB=PQ．设P（x，y），可得Q（x-8，y+4），
点Q在直线AC上，y_AC=

1

2

x-4，
把Q（x-8，y+4）代入 y_AC=

1

2

x-4，解得：y=

1

2

x-12，
又∵y=-

1

4

x²+

3

2

x+4，
∴-

1

4

x²+

3

2

x+4=

1

2

x-12，
解得x₁=2

17

+2，x₂=2-2

17

（不合题意，舍去）．
∴Q₃（2

17

-6，

17

-7）．
综上所述：P、Q、B、A四点构成的四边形是平行四边形时，点Q的坐标为：Q₁（4，-2），Q₂（12，2），Q₃（2

17

-6，

17

-7）．

点评：此题主要考查的是函数图象与坐标轴的交点坐标的求法、图形面积的解法以及平行四边形的判定，有一定难度．