题目内容

在矩形ABCD中，AB=3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E．
（1）若直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A′重合，求BC的长；
（2）若直线l与AB相交于点F，且AO= $数学公式$ AC，设AD的长为x，五边形BCDEF的面积为S．
①求S关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；
②探索：是否存在这样的x，以A为圆心，以x- $数学公式$ 长为半径的圆与直线l相切？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵A′是矩形ABCD的对称中心，
∴A′B=AA′= $\text{[math]}$ AC
又∵AB=A′B，AB=3，
AC=6，
在Rt△ABC中BC²=AC²-AB²
∴ $\text{[math]}$ ．

（2）①在Rt△ADC中
∵AD=x，AB=3，
∴ $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，
易证△AOF∽△ABC， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
同理可得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
即： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．
②若圆A与直线l相切，
则 $\text{[math]}$ ，
15x²-24x=0，x₁=0（舍去）， $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴不存在这样的x，使圆A与直线l相切．
分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及轴对称的性质得到AC=2AB，进而利用勾股定理求解即可．
（2）①五边形的面积=矩形的面积-S_△AEF，利用相似可求得AE，AF的长度．
②圆与直线l相切，半径x- $\text{[math]}$ 应等于AO长．
点评：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；圆与直线相切，半径等于圆心到直线的距离．