Question

【题目】如图，是的直径，过点作的切线，点为上一点，连接与交于点，为上一点，且满足=，连接．

（1）求证：；

（2）过点作的垂线，垂足为，若，，求的半径长．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）．

【解析】

（1）先证明，再证明，最后根据内接四边形对角互补得出即得；

（2）连接OD，先推出，再根据相似三角形对应边成比例得出DF=3，最后在中设半径为R，应用勾股定理列出方程求解即得．

（1）∵AB为直径

∴

∴

∵为的切线

∴

∴，

∴

∵=

∴

∴

∵在的内接四边形ADBE中，

∴，即

∴，即

（2）如下图：连接OD

∵DF⊥AB，AB为直径，

∴∠DFO=∠AEB = 90°

∵，

∴∠CBD=∠BAD

∵∠DOF=2∠BAD，

∴∠DOF=∠ABE

∴

∴'

∵

∴DF=3

设的半径为R，则

在中，

即

解得：

所以的半径长为