Question

如图，在△ABC中，AB=AC=9，BC=12，∠B=∠C，点D从B出发以每秒2厘米的速度在线段BC上从B向C方向运动，点E同时从C出发以每秒2厘米的速度在线段AC上从C向A运动，连接AD、DE．
（1）运动

3

秒时，AE=

1

2

DC（不必说明理由）
（2）运动多少秒时，∠ADE=90°-

1

2

∠BAC，并请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设运动的时间是t秒，则CD=12-2t，AE=9-2t，得出方程9-2t=

1

2

（12-2t），求出方程的解即可；
（2）求出∠B=∠C=∠ADE，推出∠BAD=∠EDC，根据AAS证△ABD≌△DCE，推出DC=AB=9即可．

解答：（1）解：设运动的时间是t秒，
则CD=12-2t，AE=9-2t，
9-2t=

1

2

（12-2t）
t=3，
故答案为：3．

（2）解：设x秒后，∠ADE=90°-

1

2

∠BAC，
理由是：∵∠B=∠C=90°-

1

2

∠BAC，
∴∠B=∠C=∠ADE，
∵∠BAD+∠ADB+∠B=180°，∠EDC+∠ADE+∠ADB=180°，
∴∠BAD=∠EDC，
在△ABD和△DCE中，

∠B=∠C ∠BAD=∠CDE BD=CE

∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴DC=AB=9，
∴BD=3，
∴x=

3

2

，
即运动

3

2

秒时，∠ADE=90°-

1

2

∠BAC．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．