Question

如图，⊙O是△ABC是的外接圆，BC为⊙O直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若sin∠CAD=

2

4

，⊙O的直径为8，求CD长．

Answer 1

考点：切线的判定,解直角三角形

专题：计算题

分析：（1）连结OA，根据圆周角定理的推论得到∠BAC=90°，由∠CAD=∠B易得∠BAO=∠CAD，则∠CAD+∠CAO=90°，于是OA⊥AD，然后根据切线的判定方法即可得到直线AD是⊙O的切线；
（2）在Rt△ABC中，由sinB=sin∠CAD=

2

4

，根据正弦的定义可计算出AC=2

2

，再根据勾股定理可计算出AB=2

14

，利用△DAC∽△DBA得

CD

AD

=

AC

AB

=

2 2

2 14

=

1

7

，即AD=

7

CD，然后在Rt△OAD中，根据勾股定理可得到关于CD的方程，然后解方程得CD的长．

解答：（1）证明：连结OA，如图，
∵BC为⊙O直径，
∴∠BAC=90°，即∠BAO+∠CAO=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠BAO，
而∠CAD=∠B，
∴∠BAO=∠CAD，
∴∠CAD+∠CAO=90°，即∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∴直线AD是⊙O的切线；

（2）在Rt△ABC中，sinB=sin∠CAD=

2

4

，
而sinB=

AC

BC

，BC=8，
∴AC=2

2

，
∴AB=

BC2-AC2

=2

14

，
∵∠CAD=∠B，
∴△DAC∽△DBA，
∴

CD

AD

=

AC

AB

=

2 2

2 14

=

1

7

，即AD=

7

CD，
在Rt△OAD中，OA=OC=4，
∵OA²+AD²=OD²，
∴4²+（

7

CD）²=（4+CD）²，
∴CD=

4

3

．

点评：本题考查了切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理的推论．