Question

【题目】如图，AB//CD,BD平分∠ABC，∠2=∠3，BC⊥AC于C,DH⊥AB于H, DH交AC 于F,O是AB的中点，则下列说法正确的有（ ）

①BC=CD ②∠4=30° ③AH=HF ④OF//BD

A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据平行线的性质可判定①;根据平行线的性质和角平分线的性质可得AD=BC=CD，从而∠4=∠3，再根据三角形的内角和即可求出∠4的度数据此判断②；根据∠3=30°可得AH与HF的关系即可判断③；连接OD，OE,O是AB中点，结合平行四边形的性质和等腰三角形的三线合一可得结论④.

解:∵AB//CD,BD平分∠ABC，

∴∠1=∠2=∠BDC，

∴BC=CD

①正确；

∵∠2=∠3，

∴∠DCA=∠CDB

∴BE=AE,CE=ED,梯形ABCD为等腰梯形，AD=BC=CD，

∴∠4=∠DCA=∠3；

在三角形ABC中，∠1+∠2+∠3=90°

∴∠4=∠DCA=∠3=30°

故②正确.

∠3=30°，

∴AH:HF=:1,

故③错误；

连接OD，OE,O是AB中点，

∴OE⊥AB,BC=BO=CD,

∴四边形BCDO为平行四边形，

∴OD=BC=AD，DH⊥AB，三线合一，DH垂直平分AO,

∴∠FOA=∠FAO=30°=∠2,

∴OF//BD，

故④正确.

综上可知选:C.