Question

【题目】如图，在直角坐标系XOY中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C在第一象限，∠C=120°，边长OA=8，点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N从A出发沿边AB—BC—CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动.过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P，交对角线OB于Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动.

（1）当t=2时，求线段PQ的长；

（2）求t为何值时，点P与N重合；

（3）设△APN的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）PQ=；（2）t=秒时，点P与N重合；（3）S与t的函数关系式为：.

【解析】（1）解直角三角形求出PM，QM即可解决问题；

（2）根据点P、N的路程之和=24，构建方程即可解决问题；

（3）分四种情形考虑问题即可解决问题.

（1）在菱形OABC中，∠AOC=60°，∠AOQ=30°，

当t=2时，OM=2，PM=2，QM=，PQ=.

（2）当t≤4时，AN=PO=2OM=2t，

t=4时，P到达C点，N到达B点，点P，N在边BC上相遇.

设t秒时，点P与N重合，则(t-4)+2(t-4)=8,

∴t=.

即t=秒时，点P与N重合.

（3）①当0≤t≤4时，PN=OA=8，且PN∥OA，PM=t，

S△APN=·8·t=4t；

②当4＜t≤时，PN=8-3(t-4)=20-3t，

S△APN=×4×(20-3t)=40-6t；

③当＜t≤8时，PN=3(t-4)-8=3t-20，

S△APN=×4×(3t-20)= 6t -4；

④8＜t≤12时，ON=24-2t，N到OM距离为12-t,

N到CP距离为4-(12-t)= t-8，CP=t-4，BP=12-t，

S△APN=S菱形-S△AON- S△CPN- S△APB

=32-×8×(12-t)- （t-4）（t-8）-（12-t）×4

= - t2+12t-56

综上，S与t的函数关系式为：