Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACD=∠B，AD⊥CD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AD=1，OA=2，求AC的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2.

【解析】

试题分析：（1）连接OC，易知∠ACB=90°. ∠B=∠BCO，可推出∠OCD=90°，可得出结论；（2）可证△ACB∽△ADC，利用对应边成比例可求得AC的值.

试题解析：（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，∵OB=OC，∴∠B=∠BCO，又∵∠ACD=∠B，

∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°，即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵AD⊥CD，

∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠ACD=∠B，∴△ACB∽△ADC，∴，∴AC2=ADAB=1×4=4，∴AC=2．