Question

在Rt⊿POQ中，OP=OQ=4,M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与⊿POQ的两直角边分别交于点A、B，

(1)求证：MA=MB

(2)连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，⊿AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。请说明理由。

Answer 1

（1）证明：连接OM  ∵ Rt⊿POQ中，OP=OQ =4,M是PQ的中点

∴OM=PM=PQ=2

∠POM=∠BOM=∠P=45⁰  ∵∠PMA+∠AMO=∠OMB+∠AMO

∴∠PMA=∠OMB   ⊿PMA≌⊿OMB  ∴ MA=MB

(2)解：⊿AOB的周长存在最小值

理由是: ⊿PMA≌⊿OMB  ∴ PA=OB 

 ∴OA+OB=OA+PA=OP=4

令OA=x  AB=y则y²=x²+(4-x)²=2x²-8x+16

=2(x-2)²+8≥8

当x=2时y²有最小值=8从而 y≥2

故⊿AOB的周长存在最小值，其最小值是4+2新 课标 第 一网