Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，DE=2，线段DE在AC边上运动（端点D从点A开始），速度为每秒1个单位，当端点E到达点C时运动停止．F为DE中点，MF⊥DE交AB于点M，MN∥AC交BC于点N，连接DM、ME、EN．设运动时间为t秒．
（1）求证：四边形MFCN是矩形；
（2）设四边形DENM的面积为S，求S关于t的函数解析式；当S取最大值时，求t的值；
（3）在运动过程中，若以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似，求t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据平行线的性质可以证得四边形MFCN的三个角是直角，则可以证得是矩形；
（2）利用t表示出MN、MF的长，然后根据S=S_△MDE+S_△MNE=DE•MF+MN•MF即可得到关于t的函数，利用函数的性质即可求解；
（3）当△NME∽△DEM时利用相似三角形的对应边的比相等即可求得t的值；
当△EMN∽△DEM时，根据相似三角形的对应边的比相等可以得到=即EM²=NM•DE．然后在Rt△MEF中利用勾股定理即可得到一个关于t的方程，从而求解．
解答：解：（1）证明：∵MF⊥AC，
∴∠MFC=90°．              
∵MN∥AC，
∴∠MFC+∠FMN=180°．
∴∠FMN=90°．                           
∵∠C=90°，
∴四边形MFCN是矩形．     

（2）解：当运动时间为t秒时，AD=t，
∵F为DE的中点，DE=2，
∴DF=EF=DE=1．
∴AF=t+1，FC=8-（t+1）=7-t．
∵四边形MFCN是矩形，
∴MN=FC=7-t．     
又∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=45°．
∴在Rt△AMF中，MF=AF=t+1，
∴S=S_△MDE+S_△MNE=DE•MF+MN•MF
=×2（t+1）+（7-t）（t+1）=-t²+4t+    
∵S=-t²+4t+=-（t-4）²+
∴当t=4时，S有最大值．                     

（3）∵MN∥AC，
∴∠NME=∠DEM．            
①当△NME∽△DEM时，
∴=．          
∴=1，解得：t=5．                       
②当△EMN∽△DEM时，∴=．           
∴EM²=NM•DE．
在Rt△MEF中，ME²=EF²+MF²=1+（t+1）²，
∴1+（t+1）²=2（7-t）．
解得：t₁=2，t₂=-6（不合题意，舍去）
综上所述，当t为2秒或5秒时，以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似．
点评：本题考查了矩形的判定，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理，正确分情况讨论是关键．