Question

半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点O。

（1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；
（2）当点P运动到的中点时，求CQ的长；
（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长

Answer 1

解：（1）当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90° ∴AB=5，AC：CA=4：3， ∴BC=4，AC=3 又∵AC·BC=AB·C ∴ 在Rt△ACB和Rt△PCQ中， ∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ， Rt△ACB∽Rt△PCQ ∴。
（2）当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BE⊥于点E ∵P是弧AB的中点 ∴ 又∠CPB=∠CAB ∴∠CPB=tan∠CAB= ∴ 而从 由（1）得。
（3）点P在弧AB上运动时，恒有 故PC最大时，CQ取到最大值 当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ 最大值为。