Question

已知关于x的方程x²-（2k+1）x+4（k-

1

2

）=0
（1）判断方程根的情况；
（2）k为何值时，方程有两个相等的实数根，并求出此时方程的根．

Answer 1

分析：（1）根据△=b²-4ac是大于零还是等于零还是小于零的情况来判断方程根的情况；
（2）根据方程有两个相等的实数根的情况直接说明b²-4ac=0得出（2k-3）²=0，解出k的值，再把k的值代入原式求出方程的根．

解答：，解：①∵△=（2k+1）²-4×1×4（k-

1

2

）=4k²+4k+1-16k+8=4k²-12k+9=（2k-3）²≥0，
∴该方程有两个实根；  
②若方程有两个相等的实数根，则△=b²-4ac=0，
∴（2k-3）²=0，
解得：k=

3

2

，
∴k=

3

2

时，方程有两个相等的实数根；
把k=

3

2

时代入原式得：
x²-（2×

3

2

+1）x+4（

3

2

-

1

2

）=0
x²-4x+4=0，
解得：x=2；
∴方程两根均为2．

点评：本题是对根的判别式与根与系数关系的综合考查，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．