Question

如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，F为CD的延长线上一点，连接AF，且FA²=FD•FC．
（1）求证：FA为⊙O的切线；
（2）若AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求AB的值．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）连接BD、AD，由FA²=FD•FC可以证到△FAD∽△FCA，从而得到∠DAF=∠C，然后运用圆周角定理就可解决问题．
（2）设CE=6x，AE=2y，则ED=5x，EB=3y，由相交弦定理得：EC•ED=EB•EA，从而得到y=

5

x．由AF²=EF²-AE²=FD•FC可以得到DF=5x，从而有AD=ED=DF=5x．由△FAD∽△FCA得到

AD

AC

=

DF

AF

，从而可以求出x，进而求出AB的值．

解答：（1）证明：连接BD、AD，如图，
∵FA²=FD•FC，
∴

FA

FD

=

FC

FA

．
∵∠F=∠F，
∴△FAD∽△FCA．
∴∠DAF=∠C．
∵∠DBA=∠C，
∴∠DBA=∠DAF．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠DBA+∠DAB=90°．
∴∠DAF+∠DAB=90°．
∴∠FAB=90°，即AF⊥AB．
∴FA为⊙O的切线．

（2）解：设CE=6x，AE=2y，则ED=5x，EB=3y．
由相交弦定理得：EC•ED=EB•EA．
∴30x²=6y²．
∴y=

5

x．
∴AE=2

5

x．
∵∠FAB=90°，
∴AF²=EF²-AE²．
∴FD•FC=EF²-AE²．
∴FD•（FD+11x）=（FD+5x）²-（2

5

x）²．
∴FD=5x．
∴AF²=FD•FC=80x²．
∴AF=4

5

x．
∵∠FAE=90°，FD=ED=5x，
∴AD=ED=5x．
∵△FAD∽△FCA．
∴

AD

AC

=

DF

AF

．
∵AD=DF=5x，AC=8，AF=4

5

x，
∴

5x

8

=

5x

4 5 x

．
解得：x=

2 5

5

．
∴AB=5y=5

5

x=10．
∴AB的值为10．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定、相交弦定理、圆周角定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，有一定的难度，而利用AF²=FD•FC=EF²-AE²求出x是解决第二小题的关键．