Question

已知：关于x的一元二次方程x²+（2k-1）x+k²=0的两根x₁，x₂满足x₁²-x₂²=0，双曲线y=

4k

x

（x＞0）经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于C（如图），求S_△OBC．

Answer 1

分析：首先由一元二次方程根的判别式得出k的取值范围，然后由x₁²-x₂²=0得出x₁-x₂=0或x₁+x₂=0，再运用一元二次方程根与系数的关系求出k的值，由k的几何意义，可知S_△OCA=

1

2

|k|．如果过D作DE⊥OA于E，则S_△ODE=

1

2

|k|．易证△ODE∽△OBA，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出S_△OBA，最后由S_△OBC=S_△OBA-S_△OCA，得出结果．

解答：解：∵x²+（2k-1）x+k²=0有两根，
∴△=（2k-1）²-4k²≥0，
即k≤

1

4

．
由x₁²-x₂²=0得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）=0．
当x₁+x₂=0时，-（2k-1）=0，解得k=

1

2

，不合题意，舍去；
当x₁-x₂=0时，x₁=x₂，△=（2k-1）²-4k²=0，
解得：k=

1

4

符合题意．
∵y=

4k

x

，
∴双曲线的解析式为：y=

1

x

．
过D作DE⊥OA于E，则S△ODE=S△OCA=

1

2

×1=

1

2

．
∵DE⊥OA，BA⊥OA，
∴DE∥AB，∴△ODE∽△OBA，
∴

S△OBA

S△ODE

=(

OB

OD

)2=4，∴S△OBA=4×

1

2

=2，
∴S△OBC=S△OBA-S△OCA=2-

1

2

=

3

2

．

点评：本题综合考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，反比例函数比例系数k的几何意义，相似三角形的性质等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．