Question

【题目】如图所示，AB是直径，弦BC于点F，且交于点E，且∠AEC=∠ODB.

（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；

（2）当，时，求的面积．

Answer 1

【答案】（1）直线和的位置关系是相切．证明见解析；（2）的面积是．

【解析】

（1）直线BD和⊙O的位置关系是相切，理由是由∠AEC=∠ABC，∠AEC=∠ODB，得到∠ABC=∠ODB，求出∠BOD+∠D=90°，推出∠OBD=90°，即可得到

（2）根据垂径定理得出BF=CF=BC=4，连接AC，由AB是圆的直径得到∠ACB=∠DFB=90°，证出△ACB∽△BED，根据相似三角形的性质得到，求出△ABC的面积，即可求出△DFB的面积．

（1）答：直线BD和⊙O的位置关系是相切，

证明：∵∠AEC=∠ABC，∠AEC=∠ODB，

∴∠ABC=∠ODB，

∵OD⊥弦BC，

∴∠OFB=90°，

∴∠DOB+∠ABC=90°，

∴∠BOD+∠D=90°，

∴∠OBD=180°-90°=90°，

∵OB是半径，

∴直线BD是圆O的切线，

即直线BD和⊙O的位置关系是相切；

（2）解：∵，是圆的半径，，

∴，，连接，

∵是圆的直径，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵的面积是，

∴的面积是，

答：的面积是．