题目内容
（2012•台州模拟）如图1，矩形OABC的顶点O为原点，点E在AB上，把△CBE沿CE折叠，使点B落在OA边上的点D处，点A、D坐标分别为（10，0）和（6，0），抛物线
过点C、B．（1）求C、B两点的坐标及该抛物线的解析式；
（2）如图2，长、宽一定的矩形PQRS的宽PQ=1，点P沿（1）中的抛物线滑动，在滑动过程中PQ∥x轴，且RS在PQ的下方，当P点横坐标为-1时，点S距离x轴
个单位，当矩形PQRS在滑动过程中被x轴分成上下两部分的面积比为2：3时，求点P的坐标；（3）如图3，动点M、N同时从点O出发，点M以每秒3个单位长度的速度沿折线ODC按O→D→C的路线运动，点N以每秒8个单位长度的速度沿折线OCD按O?C?D的路线运动，当M、N两点相遇时，它们都停止运动．设M、N同时从点O出发t秒时，△OMN的面积为S．①求出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围：②设S是①中函数S的最大值，那么S=______．
【答案】分析：（1）本题可根据折叠的性质进行求解．根据折叠的性质可知：CD=BC=OA，可在直角三角形OCD中用勾股定理求出OC的长，即可求出C、B的坐标，将这两点坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．
（2）先根据x=-1时，P的纵坐标求出PS的长即矩形的长，然后根据矩形被x轴分成上3下2两部分，可求出此时P点的纵坐标，代入抛物线中即可求出P点的坐标．
（3）一：本题要分三种情况进行讨论：
①当0≤t≤1时，此时N在OC上．M在OD上．可用t表示出OM、ON的长，进而可求出S、t的函数关系式．
②当1＜t≤2时，此时N在CD上，M在OD上．过N作x轴的垂线，在构建的直角三角形中，用ND的长求出△OMN的高，而后同①．
③当2＜t≤
时，此时，N、M均在CD上．先用t表示出NM的长，然后过O作OH⊥CD于H，在直角三角形OCH（或ODH）中，用OC的长和∠OCD的正弦值求出△OMN中NM边上的高．
二：根据一的函数的性质及自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的t的值．
解答：解：（1）∵A（10，0），D（6，0），
∴OA=10，OD=6，
又∵四边形OCBA为矩形，
∴∠COA=∠BAO=90°OC=AB=BC=OA=10．
又∵△CED为△CBE沿CE翻折得到的，
∴CD=CB=10，
∴在Rt△COD中，由勾股定理得：OC=
=8．
∴C（0，8），B（10，8），
又∵C、B均在y=
x2+bx+c上，
∴
，
∴
，
∴y=
x2-2x+8；
（2）当x=-1时，y=
×（-1）2-2×（-1）+8=
，
∴此时P（-1，
），
又∵S距离x轴上方
个单位，
∴PS=
-
=8，
∴矩形PQRS的长为8，宽为1，
设PQRS在下滑过程中交x轴分别于G、H两点．
则由题意知：
，
∴
，
∴PG=
PS=
．
故P的纵坐标为
，
∴设P（a，
），则
a2-2a+8=
，
∴a1=4，a2=6，（1分）
∴P（4，
）或（6，
）；
（3）∵点M的速度是每秒3个单位长度，点N的速度是每秒8个单位长度，
∴3t+8t=6+8+10，
解得t=
，
①当0≤t≤1时，此时N在OC上．M在OD上．
∴S△OMN=
OM•NH=
×3t×8t=12t2
，
此时，当t=1时，S大=12，
②当1＜t≤2时，此时N在CD上，M在OD上．
则DN=18-8t，
过N作NH⊥OD于H，
则
=sin∠CDO=
=
，
∴NH=
DN=
（18-8t）=
（9-4t）．
∴S△OMN=
OM•ON，
=
×
（9-4t）×3t，
=-
t2+
t，
=-
（t-
）2+
，
∴当t=
时，S大=
=12.15．
③当2＜t≤
时，此时，N、M均在CD上，
则MN=24-11t，
过O作OH⊥CD于H，
则由等面积得：OH=
，
∴S△OMN=
OH•MN=
×
×（24-11t）=-
t+
，
此时当t=2时，S大=
．
点评：本题主要考查了矩形的性质、图形的折叠变换、图形面积的求法以及二次函数的应用等知识．
综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
（2）先根据x=-1时，P的纵坐标求出PS的长即矩形的长，然后根据矩形被x轴分成上3下2两部分，可求出此时P点的纵坐标，代入抛物线中即可求出P点的坐标．
（3）一：本题要分三种情况进行讨论：
①当0≤t≤1时，此时N在OC上．M在OD上．可用t表示出OM、ON的长，进而可求出S、t的函数关系式．
②当1＜t≤2时，此时N在CD上，M在OD上．过N作x轴的垂线，在构建的直角三角形中，用ND的长求出△OMN的高，而后同①．
③当2＜t≤
时，此时，N、M均在CD上．先用t表示出NM的长，然后过O作OH⊥CD于H，在直角三角形OCH（或ODH）中，用OC的长和∠OCD的正弦值求出△OMN中NM边上的高．二：根据一的函数的性质及自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的t的值．
解答：解：（1）∵A（10，0），D（6，0），
∴OA=10，OD=6，
又∵四边形OCBA为矩形，
∴∠COA=∠BAO=90°OC=AB=BC=OA=10．
又∵△CED为△CBE沿CE翻折得到的，
∴CD=CB=10，
∴在Rt△COD中，由勾股定理得：OC=
=8．∴C（0，8），B（10，8），
又∵C、B均在y=
x2+bx+c上，∴
，∴
，∴y=
x2-2x+8；（2）当x=-1时，y=
×（-1）2-2×（-1）+8=
，∴此时P（-1，
），又∵S距离x轴上方
个单位，∴PS=
-
=8，∴矩形PQRS的长为8，宽为1，
设PQRS在下滑过程中交x轴分别于G、H两点．
则由题意知：
，∴
，∴PG=
PS=
．故P的纵坐标为
，∴设P（a，
），则
a2-2a+8=
，∴a1=4，a2=6，（1分）
∴P（4，
）或（6，
）；（3）∵点M的速度是每秒3个单位长度，点N的速度是每秒8个单位长度，
∴3t+8t=6+8+10，
解得t=
，①当0≤t≤1时，此时N在OC上．M在OD上．
∴S△OMN=
OM•NH=
×3t×8t=12t2
，此时，当t=1时，S大=12，
②当1＜t≤2时，此时N在CD上，M在OD上．
则DN=18-8t，
过N作NH⊥OD于H，
则
=sin∠CDO=
=
，∴NH=
DN=
（18-8t）=
（9-4t）．∴S△OMN=
OM•ON，=
×
（9-4t）×3t，=-
t2+
t，=-
（t-
）2+
，∴当t=
时，S大=
=12.15．③当2＜t≤
时，此时，N、M均在CD上，则MN=24-11t，
过O作OH⊥CD于H，
则由等面积得：OH=
，∴S△OMN=
OH•MN=
×
×（24-11t）=-
t+
，此时当t=2时，S大=
．点评：本题主要考查了矩形的性质、图形的折叠变换、图形面积的求法以及二次函数的应用等知识．
综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
练习册系列答案
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