题目内容

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

(1)求证：EG＝CG；

(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？(均不要求证明)

答案：
解析：

　　解：(1)证明：在Rt△FCD中，

　　∵G为DF的中点，∴CG＝FD　　1分

　　同理，在Rt△DEF中，

　　EG＝FD　　2分

　　∴CG＝EG　　3分

　　(2)(1)中结论仍然成立，即EG＝CG　　4分

　　证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．

　　在△DAG与△DCG中，

　　∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，

　　∴△DAG≌△DCG．

　　∴AG＝CG　　5分

　　在△DMG与△FNG中，

　　∵∠DGM＝∠FGN，FG＝DG，∠MDG＝∠NFG，

　　∴△DMG≌△FNG．

　　∴MG＝NG

　　在矩形AENM中，AM＝EN　　6分

　　在Rt△AMG与Rt△ENG中，

　　∵AM＝EN，MG＝NG，

　　∴△AMG≌△ENG．

　　∴AG＝EG．

　　∴EG＝CG　　8分

　　证法二：延长CG至M，使MG＝CG，

　　连接MF，ME，EC　　4分

　　在△DCG与△FMG中，

　　∵FG＝DG，∠MGF＝∠CGD，MG＝CG，

　　∴△DCG≌△FMG．

　　∴MF＝CD，∠FMG＝∠DCG．

　　∴MF∥CD∥AB　　5分

　　∴EF⊥MF．

　　在Rt△MFE与Rt△CBE中，

　　∵MF＝CB，EF＝BE，

　　∴△MFE≌△CBE．

　　∴∠MEF＝∠CEB　　6分

　　∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°　　7分

　　∴△MEC为直角三角形．

　　∵MG＝CG，

　　∴EG＝MC．

　　∴EG＝CG　　8分

　　(3)(1)中的结论仍然成立，

　　即EG＝CG．其他的结论还有：EG⊥CG　　10分


练习册系列答案
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．
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2
+1
2
+1
．
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