题目内容
已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。
（1）（4分）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．
①（4分）猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②（6分）拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断
是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。
解：（1）证明：如图I，分别连接OE、0F
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO=
∠ADC=×60°=30°
又∵E、F分别为DC、CB中点
∴OE=CD，OF=BC，AO=AD
∴0E=OF=OA ∴点O即为△AEF的外心。
（2）①猜想：外心P一定落在直线DB上。
证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，P J⊥AD于J
∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60°
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°
∵点P是等边△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA
∴△PIE≌△PJA， ∴PI=PJ
∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上。
②为定值2.
当AE⊥DC时．△AEF面积最小，
此时点E、F分别为DC、CB中点．
连接BD、AC交于点P，由（1）
可得点P即为△AEF的外心
解法一：如图3．设MN交BC于点G
设DM=x，DN=y(x≠0．y≠O)，则 CN=
∵BC∥DA ∴△GBP∽△MDP．∴BG=DM=x．
∴
∵BC∥DA，∴△GBP∽△NDM
∴
，∴
∴
∴
，即
其它解法略。
如图，已知菱形ABCD的边长为6，有一内角为60°，M为CD边上的中点，P为对角线AC上的动点，则PD+PM的最小值为
面积．
如图，已知菱形ABCD的边AB=2cm，它的周长为