Question

已知：如图，在?ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，∠ECB=∠FCD，CE、BA的延长线相交于点G．
求证：（1）BC²=BF•BG；
（2）BF•BA=DE•DA．

Answer 1

证明：
（1）∵在?ABCD中，AB∥CD，
∴∠G=∠ECD，
∵∠ECB=∠FCD，
∴∠BCF=∠ECD，
∴∠BCF=∠G，
∵∠B=∠B，
∴△BCF∽△BGC，
∴，
∴BC²=BF•BG；

（2）∵在?ABCD中，∠B=∠D，
又∵∠BCF=∠ECD，
∴△BCF∽△DCE，
∴，
∵BA=DC，DA=BC，
∴，
∴BF•BA=DE•DA．
分析：（1）根据四边形ABCD可得AB∥CD，于是∠G=∠ECD，而∠ECB=∠FCD，利用等式性质可得∠BCF=∠ECD，从而有∠BCF=∠G，结合∠B是公共角，从而可证△BCF∽△BGC，利用比例线段可得BC²=BF•BG；
（2）利用平行四边形的性质可得∠B=∠D，结合∠BCF=∠ECD，易证△BCF∽△DCE，利用比例线段可得，
而BA=DC，DA=BC，等量代换可得BF•BA=DE•DA．
点评：本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质．解题的关键是证明△BCF∽△BGC、△BCF∽△DCE．