Question

先阅读，再解答下列问题．
已知（a²+b²）⁴-8（a²+b²）²+16=0，求a²+b²的值．
错解：设（a²+b²）²=m，则原式可化为m²-8m+16=0，即（m-4）²=0，解得m=4．由（a²+b²）²=4，得a²+b²=±2．
（1）上述解答过程出错在哪里？为什么？
（2）请你用以上方法分解因式：（a+b）²-14（a+b）+49．

Answer 1

分析：（1）设m的值时，要注意m是非负数；
（2）设（a²+b²）²=m，则原式可化为m²-14m+49，即（m-7）²．

解答：解：（1）错误是：设（a²+b²）²=m，m≥0．所以由（m-4）²=0，解得m=4．由（a²+b²）²=4，得a²+b²=2；

（2）设（a+b）=m（m≥0）．则原式可化为m²-14m+49，即（m-7）²．
∴（a+b）²-14（a+b）+49=（a+b-7）²．

点评：本题考查了配方法和换元法解一元二次方程．注意利用换元法解方程时，需要注意m的取值范围．