题目内容

如图1，抛物线y=ax²+bx+c交y轴于点为A（0，3），交x轴于点B、C（点B在点C的左侧，）顶点为E（1，4），过点A作x轴的平行线AL，

（1）求抛物线的解析式及B点的坐标；
（2）点P从顶点E出发沿对称轴右侧的抛物线运动，过点P作直线PQ平行于y轴交直线AL于点Q，保持点Q以每秒1个单位的速度向右运动，同时点R从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿x轴正方向运动，设运动时间为t秒，
①若点P在直线AL的下方，当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOR相似？
②当t=0时，以点A、P、R、Q为顶点的四边形是梯形，如图2，是否还存在另外的t值，使以点A、P、R、Q为顶点的四边形是梯形？若存在，求出t的值，并直接写出该梯形的面积；若不存在，请说明理由．

解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+4，
把（0，3）代入，得，a+4=3，
解得，a=-1，
所以，函数的解析式为，y=-（x-1）²+4，
即：y=-x²+2x+3，
在y=-x²+2x+3中，令y=0，则-x²+2x+3=0，
解得，x=-1或3，
所以，B点的坐标是（-1，0）；

（2）①∵y=-（x-1）²+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点Q的速度为每秒1个单位，点R的速度为每秒2个单位，
∴AQ=t+1，OR=2t，

∵点P在抛物线上，PQ∥y轴，
∴PQ=3-[（-（t+1）²+2（t+1）+3]=（t+1）²-2（t+1），
若AQ和AO是对应边，∵△AQP∽△AOR，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得t=3，
若AQ和OR是对应边，∵△AQP∽△ROA，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
整理得，2t²-2t-3=0，
解得t₁= $\text{[math]}$ ，t₂= $\text{[math]}$ （舍去），
综上所述，t= $\text{[math]}$ 或3时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOR相似；

②当点P在x轴上即点P与点C重合时，PR∥AQ，四边形APRQ是梯形，
∵点C的坐标为（3，0），
∴AQ=t+1=3，
解得t=2，
∴AQ=2+1=3，PR=OR-OP=2×2-3=1，
S_梯形AQRP= $\text{[math]}$ （3+1）×3=6；

AP∥QR时，∠APQ=∠PQR，
设PQ与x轴相交于D，
又∵∠AQP=∠RDQ=90°，
∴△APQ∽△RQD，
∵AQ=t+1，RD=OR-OD=2t-（t+1）=t-1，

PQ=（t+1）²-2（t+1），
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
整理得，（t-1）²=3，
解得t=1+ $\text{[math]}$ 或t=1- $\text{[math]}$ （舍去），
此时，PQ=（1+ $\text{[math]}$ +1）²-2（1+ $\text{[math]}$ +1）=2 $\text{[math]}$ +3，
AQ=1+ $\text{[math]}$ +1=2+ $\text{[math]}$ ，
RD=1+ $\text{[math]}$ -1= $\text{[math]}$ ，
梯形的面积=S_△APQ+S_△PQR，
= $\text{[math]}$ ×（2+ $\text{[math]}$ ）×（2 $\text{[math]}$ +3）+ $\text{[math]}$ ×（2 $\text{[math]}$ +3）× $\text{[math]}$ ，
= $\text{[math]}$ ×（2 $\text{[math]}$ +3）×（2+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），
=（2 $\text{[math]}$ +3）×（1+ $\text{[math]}$ ），
=2 $\text{[math]}$ +6+3+3 $\text{[math]}$ ，
=9+5 $\text{[math]}$ ．
综上所述，t=2时，以点A、P、R、Q为顶点的四边形是梯形，面积是6，
t=1+ $\text{[math]}$ 时，以点A、P、R、Q为顶点的四边形是梯形，面积是9+5 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据顶点坐标设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+4，然后把点A的坐标代入求出a的值即可得解，再令y=0，解关于x的一元二次方程，即可得到点B的坐标；
（2）①先求出抛物线的对称轴解析式，再根据点P、R的速度求出AQ，OR，利用抛物线解析式表示出PQ，再分AQ和AO是对应边，AQ和OR是对应边，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可得到t的值；
②点P与点C重合时，PR∥AQ，四边形APRQ是梯形，根据点C的坐标求出时间，然后表示出AQ、PR，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解；AP∥QR时，根据两直线平行，内错角相等可得∠APQ=∠PQR，设PQ与x轴相交于D，从而得到△APQ和△RQD相似，然后表示出AQ、RD，再根据抛物线解析式表示出PQ，利用相似三角形对应边成比例列式求出时间t，再根据梯形的面积=S_△APQ+S_△PQR，列式计算即可得解．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，梯形的对边的性质，（1）利用顶点式形式求解更加简便，（2）难点在于两个小题都要分情况讨论．