题目内容

如图在平面直角坐标系中正方形OABC的边OC，OA分别在x轴正半轴上和y轴的负半轴上，点B在双曲线y=-
4
x
上，直线y=kx-k（k＞0）交y轴与F．
（1）求点B、E的坐标；
（2）连接BE，CF交于M点，是否存在实数k，使得BE⊥CF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；
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（3）F在线段OA上，连BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，当F在线段OA上运动时（不与O、A重合），
OM+AN
BN
的值是否变化．若变化，求出变化的范围；若不变，求其值．
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分析：（1）把正方形的面积用B点坐标表示求解；
（2）用分析法求解．根据直线解析式的特点，求k只需求满足条件时OF的长；
（3）探索：
OM+AN
BN
=
OM
BN
+
AN
BN
=
OF
AB
+
AF
AB
AN
BN
，
OM
BN
=
OF
AB
，
AN
BN
=
AF
AB
，代换后得结论为1，所以不变化．
解答：解：（1）根据题意，设B（x，-x），
∵B在y=-
4
x
的图象上，
∴x2=4，x=±2，
根据图形得B（2，-2），
∵E在X轴上，
∴kx-k=0，x=1，即E（1，0）；

（2）假设存在k，使BE⊥CF，
∵∠OCF=∠CBE∠COF=∠BCE，OC=CB
∴△OCF≌△CBE
∴OF=CE=1
∴k=1；

（3）
OM+AN
BN
=1．
证明：由已知条件易证：△OMF∽△BNA，△ANF∽△BNA，
∴
OM
BN
=
OF
AB
，
AN
BN
=
AF
AB

∴
OM+AN
BN
=
OM
BN
+
AN
BN
=
OF
AB
+
AF
AB
=
OA
AB
=1．
点评：此题运用了分析法解题探究，综合性很强，检验学生自主创新能力．
练习册系列答案
相关题目
21、如图在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为A（2，0），O（0，0），B（0，4）．
①△AOC与△AOB关于x轴成轴对称，则C点坐标为
（0，-4）
；
②将△AOB绕AB的中点D逆时针旋转90°得△EGF，则点A的对应点E的坐标为
（3，3）
；
③在图中画出△AOC和△EGF，△AOB与△EGF重叠的面积为
1
平方单位．
精英家教网如图在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），以点A为圆心，2为半径的圆与x轴交于O，B两点，C为⊙A上一点，P是x轴上的一点，连接CP，将⊙A向上平移1个单位长度，⊙A与x轴交于M、N，与y轴相切于点G，且CP与⊙A相切于点C，∠CAP=60°．请你求出平移后MN和PO的长．
如图在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示点B在抛物线y=ax2+ax-2上．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°到达△AB′C′的位置，请写出点B′坐标
（1，-1）
（1，-1）
，点C′坐标
（2，1）
（2，1）
；判断点B′
在
在
，C′
在
在
（填“在”或“不”）在（2）中的抛物线上．
如图在平面直角坐标系中，M为x轴上一点，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P为
BC
上的一个动点，CQ平分∠PCD交AP于Q，A（-1，0），M（1，0）．
（1）求C点坐标；
（2）当点P在
BC
上运动时，线段AQ的长是否改变？若不变，请求出其长度；若改变，请说明理由．（提示：连接AC）．
（3）当点P在
BC
上运动时，是否存在这样的点P，使CQ所在直线经过点M？若存在请直接写出点P的坐标．
如图在平面直角坐标系中，A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6）C是线段AB的中点．请问在y轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

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