Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，点，且、满足.

（1）求，的值;

（2）以为边作，点在直线的右侧且，求点的坐标；

（3）若（2）的点在第四象限（如图2），与交于点，与轴交于点，连接，过点作交轴于点.

①求证;

②直接写出点到的距离.

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）①见解析，②

【解析】

（1）将等式变形后，利用非负数的性质即可得到a,b的值；

（2）由题意分和两种情况讨论，当时，过点作于，利用AAS证，从而求得点C的坐标；当时，同理可得解；

（3）①过点作轴于点，依次证得，，即可得证；

②过点C分别作x轴、DL的垂线，交于点K、H，通过证明△EDC≌△FDC得到∠DEC =∠LEC，再利用角平分线的性质定理得到CH=CL=1.

.解：（1）

，

，，

，，

，；

（2）由（1）知，，

，

，，

是直角三角形，且，

只有或，

Ⅰ、当时，如图，

，

，

过点作于，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，

Ⅱ、当时，如图

同Ⅰ的方法得，；

即：满足条件的点或

（3）①如图，由（2）知点，

过点作轴于点，则

在和中，

，

，

，

，

，

，

在和中，

，

，

；

②CH=，

如图，过点C分别作x轴、y轴、DE的垂线，交于点K、L、H，

由①可知，CL=CK=1，
∠ECL+∠DCK=∠LCK-∠ECD=90°-45°=45°，
∠FCK+∠KCD=∠ECF-∠ECD=90°-45°=45°，
∴∠ECL=∠FCK，又∠FKC=∠ELC=90°，
∴△ELC≌△FKC（AAS），
∴∠LEC=∠KFC，EC=FC，
∠FCD=∠FCK+∠KCD=∠ECL+∠KCD=45°=∠ECD，
又CD=CD，
∴△EDC≌△FDC（SAS），
∴∠DEC=∠DFC，
∴∠DEC =∠LEC．

又

∴CH=CL=1