题目内容
在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．过点B作直线EF⊥BC，点P为线段AB上一动点（与点A，B均不重合），过点P作MN∥BC并交AC于点M，交EF于点N，作PD⊥PC，交直线EF于点D．（1）若点D在线段NB上（如图1）求证：△PCM≌△DPN；
（2）若点D在线段NB延长线上（如图2）且BP=BD，求AP的长；
（3）设AP=x，且P、C、D、B为顶点的四边形的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式．
【答案】分析：（1）易知四边形MCBN是矩形，△PNB是等腰直角三角形．矩形的对边MC=NB．等腰直角△PNB的两直角边PN=NB，即PN=CM；然后根据同角的余角相等证得∠MCP=∠NPB；最后由全等三角形的判定定理ASA证得△PCM≌△DPN；
（2）易知四边形MCBN是矩形，△PNB、△AMP是等腰直角三角形．根据全等三角形（△MCP≌△NDP）的对应边相等、勾股定理来求线段AP的长度．
（3）需要分类讨论：若点D在线段NB上（如图1），写出y与x的函数关系式；若点D在线段NB延长线上（如图2），写出y与x的函数关系式．
解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，EF⊥BC，
∴AC∥EF．
又∵MN∥BC，
∴四边形MCBN是矩形，
∴∠PMC=∠DNP=90°，MC=NB．
∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB=45°．
∴∠PBN=∠NPB=45°，
∴NP=NB．
∴MC=NP．
又∵PD⊥PC，
∠MCP=∠DPN（同角的余角相等）．
在△PCM与△DPN中，
，
∴△PCM≌△DPN（ASA）；
解：（2）∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．
∴AB=
．
同（1）：四边形MCBN是矩形，△PCM≌△DPN（ASA），则MC=NB，MP=ND．
∵∠A=∠PBN=45°，
∴∠MPB=∠A=45°，∠PBN=∠BPN=45°，
∴AM=PM，PN=NB，
∴AP=
AM，BP=
BN=
MC．
∵BP=BD，
∴ND=NB+BD=MC+
MC=MP=AM，即1-AM+
（1-AM）=AM，
解得，AM=
，
∴AP=
AM=1；
（3）①若点D在线段NB上（如图1），S四边形PCBD=S矩形MCBN-2S△PMC=1×（1-
x）-2×
×（1-
x）×
x=
x2
x+1，即y=
x2
x+1；
②若点D在线段NB延长线上（如图2），连接CD．
S四边形PCBD=S梯形MCDN-S△PMC-S△PNB=
（MC+AM）•BC-
AM•MC-
MC•MC=
×1×1-
×
x×（1-
x）-
（1-
x）（1-
x）=
x，即y=
x．
点评：本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点．解答（3）题时，要分类讨论，以防漏解．
（2）易知四边形MCBN是矩形，△PNB、△AMP是等腰直角三角形．根据全等三角形（△MCP≌△NDP）的对应边相等、勾股定理来求线段AP的长度．
（3）需要分类讨论：若点D在线段NB上（如图1），写出y与x的函数关系式；若点D在线段NB延长线上（如图2），写出y与x的函数关系式．
解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，EF⊥BC，
∴AC∥EF．
又∵MN∥BC，
∴四边形MCBN是矩形，
∴∠PMC=∠DNP=90°，MC=NB．
∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB=45°．
∴∠PBN=∠NPB=45°，
∴NP=NB．
∴MC=NP．
又∵PD⊥PC，
∠MCP=∠DPN（同角的余角相等）．
在△PCM与△DPN中，
，∴△PCM≌△DPN（ASA）；
解：（2）∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．
∴AB=
．同（1）：四边形MCBN是矩形，△PCM≌△DPN（ASA），则MC=NB，MP=ND．
∵∠A=∠PBN=45°，
∴∠MPB=∠A=45°，∠PBN=∠BPN=45°，
∴AM=PM，PN=NB，
∴AP=
AM，BP=BN=MC．∵BP=BD，
∴ND=NB+BD=MC+
MC=MP=AM，即1-AM+（1-AM）=AM，解得，AM=
，∴AP=
AM=1；（3）①若点D在线段NB上（如图1），S四边形PCBD=S矩形MCBN-2S△PMC=1×（1-
x）-2××（1-x）×x=x2x+1，即y=x2x+1；②若点D在线段NB延长线上（如图2），连接CD．
S四边形PCBD=S梯形MCDN-S△PMC-S△PNB=
（MC+AM）•BC-AM•MC-MC•MC=×1×1-×x×（1-x）-（1-x）（1-x）=x，即y=x．点评：本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点．解答（3）题时，要分类讨论，以防漏解．
练习册系列答案
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6、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=4，点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段即把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是
使点B落在点E处，点C落在点D处．P、Q分别为线段AC、AD上的两个动点，且AQ=2PC，连接PQ交线段AE于点M．
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=10，PQ=AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？