Question

如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=

1

2x

的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=

 

．

Answer 1

分析：根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=

2

b，同理BE=

2

a，根据（a，b）是函数y=

1

2x

的图象上的点，因而b=

1

2a

，ab=

1

2

，则即可求出AF•BE．

解答：解：∵P的坐标为（a，

1

2a

），且PN⊥OB，PM⊥OA，
∴N的坐标为（0，

1

2a

），M点的坐标为（a，0），
∴BN=1-

1

2a

，
在直角三角形BNF中，∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形），
∴NF=BN=1-

1

2a

，
∴F点的坐标为（1-

1

2a

，

1

2a

），
∵OM=a，
∴AM=1-a，
∴EM=AM=1-a，
∴E点的坐标为（a，1-a），
∴AF²=（-

1

2a

）²+（

1

2a

）²=

1

2a2

，BE²=（a）²+（-a）²=2a²，
∴AF•BE=1．
故答案为：1．

点评：本题主要考查了反比例函数图象上的点的特点，图象上所有的点都满足函数解析式．