Question

【题目】如图1，四边形的对角线，相交于点，，．

图1 图2

（1）过点作交于点，求证：；

（2）如图2，将沿翻折得到．

①求证：；

②若，求证：．

Answer 1

【答案】（１）见解析；（２）①见解析；②见解析．

【解析】

（1）连接CE，根据全等证得AE=CD，进而AECD为平行四边形，由进行等边代换，即可得到；

（2）①过A作AE∥CD交BD于E，交BC于F，连接CE，，得，利用翻折的性质得到，即可证明；②证△BEF≌△CDE，从而得，进而得∠CED=∠BCD，且，得到△BCD∽△CDE，得，即可证明．

解：（1）连接CE，

∵，

∴，

∵，，，

∴△OAE≌△OCD，

∴AE=CD，

∴四边形AECD为平行四边形，

∴AE=CD，OE=OD，

∵，

∴CD=BE，

∴；

（2）①过A作AE∥CD交BD于E，交BC于F，连接CE，

由（1）得，，

∴，

由翻折的性质得，

∴，

∴，

∴；

②∵，，

∴四边形为平行四边形，

∴，，

∴，

∵，

∴EF=DE，

∵四边形AECD是平行四边形，

∴CD=AE=BE，

∵AF∥CD，

∴，

∵EF=DE，CD=BE，，

∴△BEF≌△CDE（SAS），

∴，

∵，

∴∠CED=∠BCD，

又∵∠BDC=∠CDE，

∴△BCD∽△CDE，

∴，即，

∵DE=2OD，

∴．