Question

如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）已知CD=6

2

，求AC的长；
（2）求证：AB-AC=CD．

Answer 1

分析：（1）由∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，根据角平分线的性质，即可得CD=DE，又由在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，根据等腰三角形的性质，可求得AC=BC，∠B=45°，然后利用三角函数，即可求得AC的长；
（2）首先证得AC=AE，又由（1）易得CD=DE=BE，然后利用线段的和差关系与等量代换的知识，即可求得AB-AC=CD．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=CD=6

2

，
∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠EDB=∠B=45°，
∴sin∠B=sin45°=

DE

BD

=

2

2

，
∴BD=6

2

×

2

=12，
∴AC=BC=CD+BD=12+6

2

；

（2）∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥AB，
∴∠ADC=∠ADE，
∴AE=AC，
∵CD=DE，DE=BE，
∴CD=BE，
∴AB-AC=AB-AE=BE=CD，
即：AB-AC=CD．

点评：此题考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意角平分线定理的应用．