Question

（2012•上海）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．

Answer 1

分析：（1）根据OD⊥BC可得出BD=

1

2

BC=

1

2

，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的长；
（2）连接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再根据D和E是中点可得出DE=

2

；
（3）由BD=x，可知OD=

4-x2

，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE，DF=

4-x2

2

，EF=

2

2

x即可得出结论．

解答：解：（1）如图（1），∵OD⊥BC，
∴BD=

1

2

BC=

1

2

，
∴OD=

OB2-BD2

=

15

2

；


（2）如图（2），存在，DE是不变的．
连接AB，则AB=

OB2+OA2

=2

2

，
∵D和E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE=

1

2

AB=

2

；

（3）如图（3），连接OC，
∵BD=x，
∴OD=

4-x2

，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=45°，
过D作DF⊥OE．
∴DF=

4-x2

2

=

8-2x2

2

，由（2）已知DE=

2

，
∴在Rt△DEF中，EF=

DE2-DF2

=

2 x

2

，
∴OE=OF+EF=

8-2x2

2

+

2 x

2

=

8-2x2 + 2 x

2

∴y=

1

2

DF•OE=

1

2

•

8-2x2

2

•

8-2x2 + 2 x

2

=

4-x2+x 4-x2

4

，（0＜x＜

2

）．

点评：本题考查的是垂径定理、勾股定理、三角形的性质，综合性较强，难度中等．