Question

如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，连接DC，且AC=DC，BC=BD．

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）作CD的平行线AE交⊙O于点E，已知DC=10，求圆心O到AE的距离．

Answer 1

（1）证明：连接OC，

∵AC=DC，BC=BD，

∴∠CAD=∠D，∠D=∠BCD，

∴∠CAD=∠D=∠BCD，

∴∠ABC=∠D+∠BCD=2∠CAD，

设∠CAD=x°，则∠D=∠BCD=x°，∠ABC=2x°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴x+2x=90，

x=30，

即∠CAD=∠D=30°，∠CBO=60°，

∵OC=OB，

∴△BCO是等边三角形，

∴∠COB=60°，

∴∠OCD=180°﹣30°﹣60°=90°，

即OC⊥CD，

∵OC为半径，

∴DC是⊙O的切线；

 

（2）解：过O作OF⊥AE于F，

∵在Rt△OCD中，∠OCD=90°，∠D=30°，CD=10，

∴OC=CD×tan30°=10，

OD=2OC=20，

∴OA=OC=10，

∵AE∥CD，

∴∠FAO=∠D=30°，

∴OF=AO×sin30°=10×=5，

即圆心O到AE的距离是5．