Question

如图，⊙O中，FG、AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，已知AB=4，⊙O的半径为．

（1）分别求出线段AP、CB的长；

（2）如果OE=5，求证：DE是⊙O的切线；

（3）如果tan∠E=，求DE的长．

Answer 1

（1）解：∵AC为直径，

∴∠ABC=90°，

在Rt△ABC中，AC=2，AB=4，

∴BC==2，

∵直径FG⊥AB，

∴AP=BP=AB=2；

（2）证明：∵AP=BP，

∴OP为△ABC的中位线，

∴OP=BC=1，

∴=，

而==，

∴=，

∵∠EOC=∠AOP，

∴△EOC∽△AOP，

∴∠OCE=∠OPA=90°，

∴OC⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（3）解：∵BC∥EP，

∴∠DCB=∠E，

∴tan∠DCB=tan∠E=

在Rt△BCD中，BC=2，tan∠DCB==，

∴BD=3，

∴CD==，

∵BC∥EP，

∴=，即=，

∴DE=．