Question

已知x₁，x₂是关于x的方程x²-（k+1）x+

1

4

k²+1=0的两根．
（1）k取何值时，方程有两个实数根；  
（2）若两根为x₁，x₂，满足x²₁+x²₂=5，求k的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）由x的一元二次方程x²-（k+1）x+

1

4

k²+1=0有两个实数根，可得△≥0即可求出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系及x²₁+x²₂=5，即可求出k的值．

解答：解：（1）∵方程x²-（k+1）x+

1

4

k²+1=0有两个实数根，
∴△=（k+1）²-4（

1

4

k²+1）≥0，
解得：k≥

3

2

，
∴k的取值范围：k≥

3

2

；
（2）∵一元二次方程x²-（k+1）x+

1

4

k²+1=0两个实数根是x₁和x₂，
∴x₁+x₂=k+1，x₁x₂=

1

4

k²+1，
∵x₁²+x₂²=5，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=5，
即（k+1）²-2（

1

4

k²+1）=5，
解得：k=-6或k=2，
∵k≥

3

2

，
∴k=2．

点评：本题考查了根与系数的关系及根的判别式，关键是掌握x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，反过来也成立，即

b

a

=-（x₁+x₂），

c

a

=x₁x₂．