题目内容
在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=4，BC=10．点E在下底边BC上，点F在腰AB上．（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x．
①试用含x的代数式表示BF的长；
②试用含x的代数式表示△BEF的面积；
（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K，得出BF与FG的长即可求出；
（2）利用（1）中所求，解一元二次方程即可求出．
（3）仍然按照（1）和（2）的步骤和方法去做就可以了，注意不是分成相等的两份，而是1：2就可以了，得到关于x的一元二次方程，先求出根的判别式△，由于△＜0，故不存在实数根．
（2）利用（1）中所求，解一元二次方程即可求出．
（3）仍然按照（1）和（2）的步骤和方法去做就可以了，注意不是分成相等的两份，而是1：2就可以了，得到关于x的一元二次方程，先求出根的判别式△，由于△＜0，故不存在实数根．
解答：
解：（1）由已知条件得：梯形周长为24，高4，面积为28．
BF=24÷2-x=12-x （1分），
过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K，
∵FG∥AK，
∴△BGF∽△BKA，
∴
=
，
∴FG=
，
∴S△BEF=
×
×x=
（7≤x≤10）；
（2）存在． （4分）
由（1）得
=14，（5分），
解得x1=7，x2=5（不合题意舍去），
∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，
此时BE=7．（6分）
（3）不存在，过点F作FM⊥BC于M，过点A作AH⊥BC于H，
假设存在，第一种情况：显然是：S△BEF：SAFECD=1：2，
（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=1：2，
梯形ABCD周长的三分之一为
=8，面积的三分之一为
．因为BE=x，
所以BF=（8-x）
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴
=
，
∴FM=
，
∴△BEF的面积=-
x2+
x，
当
梯形ABCD的面积=
时，
∴
=-
x2+
x，
整理方程得：-3x2+24x-70=0，
△=576-840＜0
∴不存在这样的实数x．
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积．
同时分成1：2的两部分．
第二种情况：显然是：S△BEF：SAFECD=2：1，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=2：1，
梯形ABCD周长的三分之一为：
=8，面积的三分之一为：
．因为BE=x，
所以BF=（8-x）
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴
=
，
∴FM=
，
∴△BEF的面积=-
x2+
x，
当
梯形ABCD的面积=
时，
∴
×2=-
x2+
x，
整理方程得：3x2-24x+140=0，
△＜0
∴不存在这样的实数x．
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积，同时分成1：2的两部分．
解：（1）由已知条件得：梯形周长为24，高4，面积为28．BF=24÷2-x=12-x （1分），
过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K，
∵FG∥AK，
∴△BGF∽△BKA，
∴
| FG |
| AK |
| BF |
| AB |
∴FG=
| 4(12-x) |
| 5 |
∴S△BEF=
| 1 |
| 2 |
| 4(12-x) |
| 5 |
| 24x-2x2 |
| 5 |
（2）存在． （4分）
由（1）得
| 24x-2x2 |
| 5 |
解得x1=7，x2=5（不合题意舍去），
∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，
此时BE=7．（6分）
（3）不存在，过点F作FM⊥BC于M，过点A作AH⊥BC于H，
假设存在，第一种情况：显然是：S△BEF：SAFECD=1：2，
（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=1：2，
梯形ABCD周长的三分之一为
| 24 |
| 3 |
| 28 |
| 3 |
所以BF=（8-x）
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴
| 8-x |
| 5 |
| FM |
| 4 |
∴FM=
| 32-4x |
| 5 |
∴△BEF的面积=-
| 2 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
当
| 1 |
| 3 |
| 28 |
| 3 |
∴
| 28 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
整理方程得：-3x2+24x-70=0，
△=576-840＜0
∴不存在这样的实数x．
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积．
同时分成1：2的两部分．
第二种情况：显然是：S△BEF：SAFECD=2：1，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=2：1，
梯形ABCD周长的三分之一为：
| 24 |
| 3 |
| 28 |
| 3 |
所以BF=（8-x）
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴
| 8-x |
| 5 |
| FM |
| 4 |
∴FM=
| 32-4x |
| 5 |
∴△BEF的面积=-
| 2 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
当
| 1 |
| 3 |
| 28 |
| 3 |
∴
| 28 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
整理方程得：3x2-24x+140=0，
△＜0
∴不存在这样的实数x．
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积，同时分成1：2的两部分．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及根的判别式和解一元二次方程等知识，根据已知得出BF与FG的长是解决问题的关键．
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