Question

△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，关于x的方程x²－2ax＋b²=0的两根为x₁、x₂，x轴上两点M、N的坐标分别为（x₁，0）、（x₂，0），其中M的坐标是(a＋c，0)；P是y轴上一点，点

【小题1】试判断△ABC的形状，并说明理由
【小题2】若S_△MNP＝3S_△NOP，
①求sinB的值；
②判断△ABC的三边长能否取一组适当的值，使△MND是等腰直角三角形？如能，请求出这组值；如不能，请说明理由

Answer 1

【小题1】证明：∵点
∴               1分
∴  ∴．    1分
由勾股定理的逆定理得：
为直角三角形且∠A＝90°          1分
【小题2】解：①如图所示；
∵
∴  即       1分
又 ∴ 
∴，是方程x²－2ax＋b²＝0的两根
∴   ∴         1分
由(1)知：在中，∠A＝90°
由勾股定理得     ∴sinB＝         1分
②能               1分
过D作DE⊥x轴于点   则NE＝EM   DN＝DM
要使为等腰直角三角形，只须ED＝MN＝EM
∵      ∴  
∴  又c＞0，∴c＝1               1分
由于c＝a   b＝a  ∴a＝  b＝             1分
∴当a＝，b＝，c＝1时，为等腰直角三角形         1分

解析1）先根据根与系数的关系及点M的坐标得出a、b、c之间的关系，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状；
（2）①由S_△MNP=3S_△NOP可得出MN=3ON即MO=4O，再由M点的坐标可求出N点坐标，
可得出ab之间的关系，再根据锐角三角函数的定义即可求出sinB的值；
②过D作DE⊥x轴于点E，由等腰直角三角形的性质可知NE=EM，DN=DM，再根据两点之间的距离公式可知DE=c，根据c＞0可得出c的值，由勾股定理可求出a、b的值，进而可得出结论．