Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；
（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）若过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s=PM×QB=96-6t；
（2）本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ²=PM²+MQ²，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB²=BM²+PM²，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；
③若PB=PQ，PB²=PM²+BM²，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出．
解答：解：（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．

∴PM=DC=12，
∵QB=16-t，
∴s=•QB•PM=（16-t）×12=96-6t（0≤t＜16）．

（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ²=t²+12²，由PQ²=BQ²得t²+12²=（16-t）²，解得；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB²=（16-2t）²+12²，由PB²=BQ²得（16-2t）²+12²=（16-t）²，即3t²-32t+144=0，
此时，△=（-32）²-4×3×144=-704＜0，
所以此方程无解，∴BP≠BQ．
③若PB=PQ，由PB²=PQ²得t²+12²=（16-2t）²+12²得，t₂=16（不合题意，舍去）．
综上所述，当或时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．
点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．