Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点E，交⊙O于点F，连接BF，CF，∠D=∠BFC．
（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=8，tanB=

1

2

，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）根据OD⊥AC，得到∠1+∠2=90°，再用同弧所对的圆周角相等得到∠1=∠BFC，然后等量代换得到∠OAD=90°，证明AD是⊙O的切线．（2）根据垂径定理求出AE的长，由同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠B，求出EF的长，然后在直角△OAE中利用勾股定理求出圆的半径OA的长，再在直角△OAD中用三角函数求出AD的长．

解答：（1）证明：∵OD⊥AC于点E，
∴∠OEA=90°，∠1+∠2=90°．
∵∠D=∠BFC，∠BFC=∠1，
∴∠D+∠2=90°，∠OAD=90°．
∴OA⊥AD于点A．
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线．

（2）解：∵OD⊥AC于点E，AC是⊙O的弦，AC=8，
∴AE=EC=

AC

2

=4
∵∠B=∠C，tanB=

1

2

，
∴在Rt△CEF中，∠CEF=90°，tanC=

1

2

．
∴EF=EC•tanC=2．
设⊙O的半径为r，则OE=r-2．
在Rt△OAE中，由勾股定理得OA²=OE²+AE²，即r²=（r-2）²+4²．
解得r=5．
∴在Rt△OAE中，tan∠2=

AE

OE

=

4

3

．
∴在Rt△OAD中，AD=OA•tan∠2=5×

4

3

=

20

3

．

点评：本题考查的是切线的判定，（1）根据已知条件求出∠OAD=90°，利用切线的判定定理可以判定AD是⊙O的切线．（2）在直角三角形中分别利用勾股定理和三角函数进行计算求出线段AD的长．