Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象经过点，，其对称轴为直线．

(1)求该二次函数的解析式；

(2)若直线将的面积分成相等的两部分，求的值；

(3)点是该二次函数图象与轴的另一个交点，点是直线上位于轴下方的动点，点是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线右侧．若以点为直角顶点的与相似，求点的坐标．

Answer 1

【答案】(1)抛物线的表达式为：，直线的表达式为： ；(2)；(3)点坐标为或．

【解析】

(1)把A、C坐标代入二次函数表达式，再由对称轴公式以及对称轴x=2得到关于a、b、c的方程组，解方程组即可得；

(2)求出直线AC解析式为：，联立，求得两直线交点的横坐标为，直线 与轴的交点为，求出，

由题意得则可知两直线与y轴围成的三角形的面积为 且m>-6，解方程即可得；

(3)由已知可得，然后分①当时，则，如图1，过点作直线，垂足为，过点作，垂足为，则，根据相似三角形的性质则可得到，设点，则，，求得h值即可求得答案；②当时， ，过点作直线，垂足为，过点作，垂足为，则 ，则可得，设点，则， ，求得p的值即可求得答案.

(1)由已知得：，解得：，

故抛物线的表达式为：；

(2)设直线AC解析式为y=k1x+b1，将A(-2，0)、C(0，-6)分别代入得

，解得：，

所以直线的表达式为：，

联立，解得：，

直线 与轴的交点为，

∵，

∴由题意得： ，

解得：或(舍去)，

；

(3)，，

，

①当时，则，

如图1，过点作直线，垂足为，过点作，垂足为，

则，

则，则，

设点，则，，

则，即，

点在二次函数上，故： ，

解得：或(舍去)，

则点；

②当时， ，

过点作直线，垂足为，过点作，垂足为，

则 ，则，则，

设点，则， ，

则，解得：或(舍去)；

故点坐标为或．