题目内容

如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，∠BAC=60°，∠BAC的角平分线交△ABC的外接圆⊙O于点E，则AE的长为________．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
分析：首先过B作BP⊥AC于点P，过D作DQ⊥AC于点Q，由角平分线的性质，可得BD：CD=2：3，由勾股定理可求得BC，CD，BD的长，然后由平行线分线段成比例定理，求得CQ与DQ的长，继而求得答案．
解答：

解：过B作BP⊥AC于点P，过D作DQ⊥AC于点Q，
∵在△ABC中，AB=4，AC=6，AE是∠BAC的角平分线，
∴BD：CD=4：6=2：3，
∵∠BAC=60°，
∴AP=AB•cos∠BAC= $\text{[math]}$ AB=2，BP=AB•sin∠BAC=2 $\text{[math]}$ ，
∴CP=AC-AP=4，
∴BC= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∴CD= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，BD= $\text{[math]}$ ，
∵DQ∥BP，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴CQ= $\text{[math]}$ ，DQ= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴AQ=AC-CQ= $\text{[math]}$ ，
∴AD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∵BD•CD=AD•DE，
∴DE= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴AE=DE+AD= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
点评：此题考查了圆周角定理与相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．