Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6 cm，AB＝8 cm，BC＝14 cm．动点P、Q都从点C出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．

(1)求CD的长；

(2)若点P以1 cm/s速度运动，点Q以2cm/s的速度运动，连接BQ、PQ，设△BQP面积为S(cm²)，点P、Q运动的时间为t(s)，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

(3)若点P的速度仍是1 cm/s，点Q的速度为a cm/s，要使在运动过程中出现PQ∥DC，请你直接写出a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)过D点作DH⊥BC，垂足为点H，则有DH＝AB＝8 cm，BH＝AD＝6 cm． 　　∴CH＝BC－BH＝14－6＝8 cm． 　　在Rt△DCH中， 　　CD＝＝8cm． 　　(2)当点P、Q运动的时间为t(s)， 　　则PC＝t， 　　①当Q在CD上时，过Q点作QG⊥BC， 　　垂足为点G，则QC＝2·t． 　　又∵DH＝HC，DH⊥BC， 　　∴∠C＝45°． 　　∴在Rt△QCG中，QG＝QC·sin∠C＝2t×sin45°＝2t． 　　又∵BP＝BC－PC＝14－t， 　　∴S△BPQ＝BP×QG＝(14－t)×2t＝14t－t2． 　　当Q运动到D点时所需要的时间t＝＝＝4． 　　∴S＝14t－t2(0＜t≤4)． 　　②当Q在DA上时，过Q点作QG⊥BC， 　　则：QG＝AB＝8 cm，BP＝BC－PC＝14－t， 　　∴S△BPQ＝BP×QG＝(14－t)×8＝56－4t． 　　当Q运动到A点时所需要的时间t＝＝＝4＋． 　　∴S＝56－4t(4＜t≤4＋)． 　　综合上述：所求的函数关系式是： 　　S＝14t－t2(0＜t≤4)． 　　S＝56－4t(4＜t≤4＋) (3)要使运动过程中出现PQ∥DC，a的取值范围是a≥1＋．