题目内容
在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM=x．（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；
（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切；
（3）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
【答案】分析：（1）由于三角形PMN和AMN的面积相当，那么可通过求三角形AMN的面积来得出三角形PMN的面积，求三角形AMN的面积可根据三角形AMN和ABC相似，根据相似比的平方等于面积比来得出三角形AMN的面积；
（2）当圆O与BC相切时，O到BC的距离就是MN的一半，那么关键是求出MN的表达式，可根据三角形AMN和三角形ABC相似，得出MN的表达式，也就求出了O到BC的距离的表达式，如果过M作MQ⊥BC于Q，那么MQ就是O到BC的距离，然后在直角三角形BMQ中，用∠B的正弦函数以及BM的表达式表示出MQ，然后让这两表示MQ的含x的表达式相等，即可求出x的值；
（3）要求重合部分的面积首先看P点在三角形ABC内部还是外面，因此可先得出这两种情况的分界线即当P落到BC上时，x的取值，那么P落点BC上时，MN就是三角形ABC的中位线，此时AM=2，因此可分两种情况进行讨论：
①当0＜x≤2时，此时重合部分的面积就是三角形PMN的面积，三角形PMN的面积（1）中已经求出，即可的x，y的函数关系式．②当2＜x＜4时，如果设PM，PN交BC于E，F，那么重合部分就是四边形MEFN，可通过三角形PMN的面积-三角形PEF的面积来求重合部分的面积．不难得出PN=AM=x，而四边形BMNF又是个平行四边形，可得出FN=BM，也就有了FN的表达式，就可以求出PF的表达式，然后参照（1）的方法可求出三角形PEF的面积，即可求出四边形MEFN的面积，也就得出了y，x的函数关系式．然后根据两种情况得出的函数的性质，以及对应的自变量的取值范围求出y的最大值即可．
解答：解：（1）∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．
∴△AMN∽△ABC．
∴
，即
；
∴AN=
x；
∴S=S△MNP=S△AMN=
•
x•x=
x2．（0＜x＜4）
（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=
MN．
在Rt△ABC中，BC=
=5；
由（1）知△AMN∽△ABC，
∴
，即
，
∴MN=
x
∴OD=
x，
过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=
x，
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA，
∴
，
∴BM=
x，AB=BM+MA=
x+x=4
∴x=
，
∴当x=
时，⊙O与直线BC相切；
（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连接AP，则O点为AP的中点．
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APB，
∴△AMO∽△ABP，
∴
，
∵AM=MB=2，
故以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤2时，y=S△PMN=
x2，
∴当x=2时，y最大=
×4=
，
②当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F，
∵四边形AMPN是矩形，
∴PN∥AM，PN=AM=x，
又∵MN∥BC，
∴四边形MBFN是平行四边形；
∴FN=BM=4-x，
∴PF=x-（4-x）=2x-4，
又∵△PEF∽△ACB，
∴
，
∴S△PEF=
（x-2）2；
y=S△MNP-S△PEF=
x2-
（x-2）2=-
x2+6x-6，
当2＜x＜4时，y=-
x2+6x-6=-
（x-
）2+2，
∴当x=
时，满足2＜x＜4，y最大=2．
综上所述，当x=
时，y值最大，最大值是2．
点评：本题主要考查了相似三角形的性质以及二次函数的综合应用，要注意（3）中要根据P点的位置的不同分情况进行讨论，不要漏解．
（2）当圆O与BC相切时，O到BC的距离就是MN的一半，那么关键是求出MN的表达式，可根据三角形AMN和三角形ABC相似，得出MN的表达式，也就求出了O到BC的距离的表达式，如果过M作MQ⊥BC于Q，那么MQ就是O到BC的距离，然后在直角三角形BMQ中，用∠B的正弦函数以及BM的表达式表示出MQ，然后让这两表示MQ的含x的表达式相等，即可求出x的值；
（3）要求重合部分的面积首先看P点在三角形ABC内部还是外面，因此可先得出这两种情况的分界线即当P落到BC上时，x的取值，那么P落点BC上时，MN就是三角形ABC的中位线，此时AM=2，因此可分两种情况进行讨论：
①当0＜x≤2时，此时重合部分的面积就是三角形PMN的面积，三角形PMN的面积（1）中已经求出，即可的x，y的函数关系式．②当2＜x＜4时，如果设PM，PN交BC于E，F，那么重合部分就是四边形MEFN，可通过三角形PMN的面积-三角形PEF的面积来求重合部分的面积．不难得出PN=AM=x，而四边形BMNF又是个平行四边形，可得出FN=BM，也就有了FN的表达式，就可以求出PF的表达式，然后参照（1）的方法可求出三角形PEF的面积，即可求出四边形MEFN的面积，也就得出了y，x的函数关系式．然后根据两种情况得出的函数的性质，以及对应的自变量的取值范围求出y的最大值即可．
解答：解：（1）∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．
∴△AMN∽△ABC．
∴
，即；∴AN=
x；∴S=S△MNP=S△AMN=
•x•x=x2．（0＜x＜4）（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=
MN．在Rt△ABC中，BC=
=5；由（1）知△AMN∽△ABC，
∴
，即，∴MN=
x∴OD=
x，过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=
x，在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA，
∴
，∴BM=
x，AB=BM+MA=x+x=4∴x=
，∴当x=
时，⊙O与直线BC相切；（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连接AP，则O点为AP的中点．
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APB，
∴△AMO∽△ABP，
∴
，∵AM=MB=2，
故以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤2时，y=S△PMN=
x2，∴当x=2时，y最大=
×4=，②当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F，
∵四边形AMPN是矩形，
∴PN∥AM，PN=AM=x，
又∵MN∥BC，
∴四边形MBFN是平行四边形；
∴FN=BM=4-x，
∴PF=x-（4-x）=2x-4，
又∵△PEF∽△ACB，
∴
，∴S△PEF=
（x-2）2；y=S△MNP-S△PEF=
x2-（x-2）2=-x2+6x-6，当2＜x＜4时，y=-
x2+6x-6=-（x-）2+2，∴当x=
时，满足2＜x＜4，y最大=2．综上所述，当x=
时，y值最大，最大值是2．点评：本题主要考查了相似三角形的性质以及二次函数的综合应用，要注意（3）中要根据P点的位置的不同分情况进行讨论，不要漏解．
练习册系列答案
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23、如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
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A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
在△ABC中，a=
，b=
，c=2
，则最大边上的中线长为（ ）
| 2 |
| 6 |
| 2 |
A、
| ||
B、
| ||
| C、2 | ||
| D、以上都不对 |